The standard form, read in one pass
\[ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \] is the circle with centre $(h,k)$ and radius $r$. The equation stores $h$, $k$ and $r^2$ — notice that last one: the number on the right is the radius squared.
Every sign in that formula is a subtraction, so a plus sign inside a bracket means a negative coordinate: $(x+4)^2$ is $(x-(-4))^2$, giving $h=-4$.
Hai câu hỏi tách rời nhau, đừng gộp: tâm ở đâu chỉ phụ thuộc hai số trong ngoặc (và phải đổi dấu), bán kính bao nhiêu chỉ phụ thuộc số bên phải (và phải khai căn). Đề rất hay cài sẵn một phương án đúng tâm nhưng để nguyên $r^2$ làm bán kính — ví dụ ghi bán kính $16$ thay vì $4$.
Completing the square
Real questions almost never hand you standard form. They hand you \[ x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \] and expect you to convert. Group the $x$-terms, group the $y$-terms, and complete each square by adding the square of half the linear coefficient — to both sides.
Find the centre and radius of $\;x^2+y^2-6x+8y-11=0$.
Group and move the constant: $\;(x^2-6x)+(y^2+8y)=11$.
Half of $-6$ is $-3$, and $(-3)^2=9$. Half of $8$ is $4$, and $4^2=16$. Add $9$ and $16$ to both sides: \[ (x-3)^2+(y+4)^2=11+9+16=36 . \] Centre $(3,-4)$, radius $\boxed{6}$.
Find the radius of $\;2x^2+2y^2-20x+8y-6=0$.
The coefficients of $x^2$ and $y^2$ must be $1$ first, so divide every term by $2$: $\;x^2+y^2-10x+4y-3=0$. Then $(x^2-10x)+(y^2+4y)=3$ becomes \[ (x-5)^2+(y+2)^2=3+25+4=32 , \] so $r=\sqrt{32}=\boxed{4\sqrt2}$.
A shortcut worth carrying: for $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ the centre is $\left(-\tfrac D2,\,-\tfrac E2\right)$ and $r^2=\tfrac{D^2}{4}+\tfrac{E^2}{4}-F$. It is the same completing-the-square work, already done once and for all.
Cộng $9$ và $16$ vào vế trái mà quên cộng vào vế phải. Kết quả là một phương trình khác hẳn, và cái đáng sợ là nó vẫn ra “một đường tròn trông hợp lý” nên không có gì báo động. Viết dấu bằng rồi cộng đồng thời hai vế, đừng làm nhẩm.
Khi hệ số của $x^2$ không phải $1$ (ví dụ $3x^2+3y^2+\dots$), việc đầu tiên là chia cả phương trình. Nếu hoàn thành bình phương trước rồi mới chia, mọi hằng số cộng thêm đều sai hệ số. Nhớ: chỉ chia được khi hệ số của $x^2$ và $y^2$ bằng nhau — nếu chúng khác nhau thì đó không phải đường tròn.
Building the equation from geometric data
The points $(-3,4)$ and $(5,-2)$ are the endpoints of a diameter of a circle. Write the equation of the circle.
The centre is the midpoint: $\left(\dfrac{-3+5}{2},\dfrac{4+(-2)}{2}\right)=(1,1)$.
The diameter is $\sqrt{(5-(-3))^2+(-2-4)^2}=\sqrt{64+36}=10$, so $r=5$ and \[ \boxed{(x-1)^2+(y-1)^2=25}. \]
A circle has centre $(5,-3)$ and is tangent to the $x$-axis. Write its equation.
Tangent to the $x$-axis means the vertical distance from the centre down to that axis is the radius: $r=|-3|=3$. Hence $\boxed{(x-5)^2+(y+3)^2=9}$.
Tangency to the $y$-axis would instead give $r=|h|=5$.
For a point $P$ and a circle with centre $C$ and radius $r$, compare $CP$ with $r$: \[ CP<r \Rightarrow P \text{ inside},\qquad CP=r \Rightarrow P \text{ on the circle},\qquad CP>r \Rightarrow P \text{ outside}. \] Squaring both sides avoids the radical: just compare $CP^2$ with $r^2$.
Does the point $(7,1)$ lie on the circle $(x-3)^2+(y+2)^2=25$?
Substitute: $(7-3)^2+(1+2)^2=16+9=25$. It matches $r^2$, so the point lies exactly on the circle.
Extreme points, chords and axis crossings
Once the centre $(h,k)$ and radius $r$ are known, several “largest / smallest” questions collapse instantly.
On the circle, $x$ ranges over $[\,h-r,\;h+r\,]$ and $y$ ranges over $[\,k-r,\;k+r\,]$. The longest chord is the diameter, $2r$. To find where the circle meets the $x$-axis, set $y=0$ and solve; for the $y$-axis, set $x=0$.
For points $(x,y)$ on $\;x^2+y^2-4x+2y-31=0$, what is the greatest possible value of $y$?
Complete the square: $(x-2)^2+(y+1)^2=31+4+1=36$, so the centre is $(2,-1)$ and $r=6$. The top of the circle sits $6$ above the centre, so $y_{\max}=-1+6=\boxed{5}$.
The circle $\;x^2+y^2-10x-8y+16=0\;$ crosses the $x$-axis at two points. How far apart are they?
Set $y=0$: $x^2-10x+16=0$, so $(x-2)(x-8)=0$ and $x=2$ or $x=8$. The points are $(2,0)$ and $(8,0)$, a distance of $\boxed{6}$ apart.
(Consistency check: the centre is $(5,4)$ and $r^2=25+16-16=25$, so $r=5$. Half the chord is $3$, the distance from the centre to the axis is $4$, and $3^2+4^2=5^2$ as it must.)
Where a circle meets a line
Substituting the line into the circle turns the geometry into one quadratic. The number of real roots is the number of intersection points, so the discriminant answers “how many” without finding any of them.
For a horizontal line $y=c$, substitution leaves $(x-h)^2=r^2-(c-k)^2$. The right side is positive for two points, zero for tangency, negative for no intersection — which is just the statement that the distance $|c-k|$ from the centre to the line is less than, equal to, or greater than $r$.
Where does the line $y=3$ meet the circle $(x-2)^2+(y-1)^2=16$?
Substitute $y=3$: $(x-2)^2+4=16$, so $(x-2)^2=12$ and $x=2\pm2\sqrt3$. Two points, $\left(2-2\sqrt3,\,3\right)$ and $\left(2+2\sqrt3,\,3\right)$.
The shortcut agrees: the distance from the centre $(2,1)$ to the line $y=3$ is $2$, which is less than $r=4$.
Is the point $(1,2)$ inside, on, or outside the circle $\;x^2+y^2+4x-4y-17=0$?
Complete the square: $(x+2)^2+(y-2)^2=17+4+4=25$, so the centre is $(-2,2)$ and $r=5$. The distance from $(1,2)$ to the centre is $\sqrt{3^2+0^2}=3$. Since $3<5$, the point is inside.
Squaring first is faster still: compare $3^2=9$ with $r^2=25$ and skip the radical entirely.
Muốn biết một điểm nằm trong hay ngoài đường tròn, đừng vẽ. Thay toạ độ điểm vào vế trái của dạng chuẩn rồi so với $r^2$: nhỏ hơn là trong, bằng là trên, lớn hơn là ngoài. Cách này không cần khai căn lần nào và dùng được cả khi phương trình còn ở dạng khai triển.
Parameters: when is it even a circle?
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ has $r^2=\dfrac{D^2+E^2-4F}{4}$. It describes a genuine circle only when $D^2+E^2>4F$. If $D^2+E^2=4F$ the graph is the single point $\left(-\tfrac D2,-\tfrac E2\right)$; if $D^2+E^2<4F$ no point in the plane satisfies it.
For what value of $c$ does $\;x^2+y^2+6x-2y=c\;$ describe a circle of radius $4$?
$(x+3)^2+(y-1)^2=c+9+1=c+10$. Setting $c+10=16$ gives $\boxed{c=6}$.
Note that the answer solves $r^2=16$, not $r=16$: a careless $c+10=4$ would give $c=-6$ and a circle of radius $2$, while $c=-10$ would collapse the graph to the single point $(-3,1)$.
The circle $\;x^2+y^2-10x+4y+c=0\;$ is tangent to the $y$-axis. Find $c$.
Centre $(5,-2)$ and $r^2=25+4-c=29-c$. Tangency to the $y$-axis forces $r=|h|=5$, so $r^2=25$ and $29-c=25$, giving $\boxed{c=4}$.
Câu hỏi “với giá trị nào của $k$ thì bán kính bằng $5$” luôn dẫn tới phương trình theo $r^2$. Rất nhiều bài giải đúng đến $r^2=25$ rồi lại lấy căn thêm một lần nữa, hoặc ngược lại — đặt $r^2=5$. Ghi rõ ra giấy “vế phải là $r^2$” trước khi đặt phương trình.
Dạng có tham số hầu như luôn quy về đúng một câu: số bên phải sau khi hoàn thành bình phương bằng bao nhiêu. Với $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$, số đó là $\tfrac{D^2}{4}+\tfrac{E^2}{4}-F$. Tính nó ra trước, rồi mới đọc đề xem người ta muốn nó bằng $r^2$ nào.