One rule, and only one
Adding or subtracting the same quantity on both sides never changes an inequality. Multiplying or dividing both sides by a positive number never changes it either. Exactly one operation reverses the sign.
If $a<b$ and $k>0$ then $ka<kb$. If $a<b$ and $k<0$ then $ka>kb$.
Nothing else flips: $-8<-3$ stays true after adding $5$ to both sides ($-3<2$), even though
negative numbers are involved.
Chỉ nhân hoặc chia cho số âm mới đảo chiều. Cộng hay trừ một số âm thì không. Học sinh hay đảo nhầm ở dòng $x-7<2$, tưởng “có số âm là phải đổi” — không, dòng đó chỉ cộng $7$ vào hai vế và cho $x<9$. Ghi luật thành một câu: “đổi chiều khi và chỉ khi hệ số nhân là số âm”.
Solve $\;-3x+7\ge 22$.
Subtract $7$: $-3x\ge 15$. Now divide by $-3$, which reverses the sign: $\boxed{x\le -5}$. Check with $x=-6$: $-3(-6)+7=25\ge 22$. Check with $x=0$: $7\ge 22$ is false, as it should be.
Solve $\;\dfrac{2x-5}{3}<\dfrac{x+1}{2}$.
Multiply every term by $6$, a positive number, so the sign is untouched: $2(2x-5)<3(x+1)$. Expand: $4x-10<3x+3$, hence $\boxed{x<13}$. Check $x=12$: $\tfrac{19}{3}\approx 6.33<\tfrac{13}{2}=6.5$. True.
Chia hai vế cho một biểu thức chứa ẩn. Từ $x^2>x$ không được chia cho $x$ để kết luận $x>1$ — dấu của $x$ chưa biết, và $x=-2$ cũng thoả. Trên đề SAT bẫy này xuất hiện ở dạng “chia cho $k$” khi $k$ là tham số chưa biết dấu.
Compound inequalities
A compound inequality $p<E<q$ is two statements at once. The efficient method is to operate on all three parts simultaneously; the same rule applies, and a negative multiplier reverses both signs.
Solve $\;-4\le 5-3x<11$.
Subtract $5$ from all three parts: $-9\le -3x<6$. Divide all three parts by $-3$ and reverse both inequality signs: $3\ge x>-2$, which is written in reading order as $\boxed{-2<x\le 3}$.
Check the endpoints: $x=3$ gives $5-9=-4$, included; $x=-2$ gives $5+6=11$, excluded — the strict and non-strict signs traded places exactly as expected.
Khi chia bất phương trình kép cho số âm, hai dấu đảo cùng lúc và hai đầu mút đổi vai: đầu “$\le$” thành đầu “$\ge$”. Viết lại kết quả theo thứ tự đọc (số nhỏ bên trái) trước khi so với phương án — rất nhiều đáp án nhiễu chỉ là kết quả đúng nhưng viết ngược đầu.
Two solution sets that look different on paper are often the same set, and two that look identical often differ at a single endpoint. Both facts are used to build distractors.
\[ x\le 4 \quad\Longleftrightarrow\quad 4\ge x \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,\,4] . \] A square bracket or a filled dot means the endpoint is a solution; a parenthesis or an open dot means it is not. The endpoint is included exactly when the original sign was $\le$ or $\ge$ — and that status survives every legal step, including a sign reversal.
The solution set of a certain inequality is graphed as a filled dot at $-2$ with shading to the right, together with an open dot at $6$ and shading to the left. Write it as one statement, and give the number of integers it contains.
Shading to the right of $-2$ means $x\ge -2$; shading to the left of $6$ means $x<6$. Since both shadings are required, the set is $\boxed{-2\le x<6}$. The integers are $-2,-1,0,\dots,5$, which is $5-(-2)+1=8$ values.
Đổi ngay “$x>\tfrac72$” thành “$x\ge 4$” vì nghĩ đề chỉ quan tâm số nguyên. Hai tập đó khác nhau — $x=3{,}6$ thoả cái đầu, không thoả cái sau. Chỉ được thu về số nguyên khi đề nói $x$ nguyên. Nếu đề hỏi “số nguyên nhỏ nhất”, trả lời $4$ nhưng giữ tập nghiệm nguyên vẹn là $x>\tfrac72$ trên nháp; câu trắc nghiệm ngay sau đó rất hay hỏi lại chính tập nghiệm ấy.
Parameters: always, never, sometimes
Bring an inequality to the shape $mx<n$. The number of solutions is decided by $m$ alone, exactly as it was for equations.
- $m>0$: solution set is $x<\dfrac{n}{m}$.
- $m<0$: solution set is $x>\dfrac{n}{m}$ (sign reversed).
- $m=0$ and $n>0$: the statement reads $0<n$, true for every $x$.
- $m=0$ and $n\le 0$: the statement reads $0<n$, false for every $x$ — no solution.
The inequality $\;ax+3<2x+b\;$ is true for every real number $x$, where $a$ and $b$ are constants. What must be true of $a$ and $b$?
Rearrange: $(a-2)x<b-3$. For this to hold for all $x$, the coefficient of $x$ must vanish, so $a=2$; otherwise the left side runs off to $+\infty$ in one direction. With $a=2$ the statement becomes $0<b-3$, so $\boxed{a=2 \text{ and } b>3}$.
The same table answers the parameter questions that look hardest. “For which $k$ does $kx>8$ have solution set $x<8/k$?” is not a computation: dividing by $k$ reverses the sign precisely when $k<0$, so the answer is $k<0$ — and the case $k=0$, which turns the statement into $0>8$, must be checked separately rather than swept into “$k\neq 0$”. Whenever a letter sits in front of $x$, split into $m>0$, $m<0$, $m=0$ before touching the inequality.
Bounding an expression from a bounded variable
A very common item gives a range for $x$ and asks for the range of a linear expression in $x$. Substitute the two endpoints, then remember that a negative coefficient swaps which endpoint produces the maximum.
If $\;-2\le x<5$, what is the full range of $3-2x$?
Multiply the chain by $-2$, reversing both signs: $4\ge -2x>-10$. Add $3$: $7\ge 3-2x>-7$, i.e.\ $\boxed{-7<3-2x\le 7}$.
Note where the strictness went: $x=-2$ is allowed and gives $3+4=7$, so $7$ is attained; $x=5$ is not allowed, so $-7$ is not attained.
Mẹo kiểm tra nhanh: thay hai đầu mút, được hai số; đầu mút nào mở (dấu ngặt) thì giá trị tương ứng cũng mở. Với hệ số âm, đầu mút trái sinh ra giá trị lớn nhất — đây chính là chỗ ba phương án nhiễu được dựng: đúng hai số nhưng gán nhầm dấu ngặt hoặc nhầm đầu.
Absolute value
For $k>0$: \[ |E|<k \iff -k<E<k ,\qquad\qquad |E|>k \iff E>k \ \text{ or } \ E<-k . \] If $k<0$ the first has no solution and the second holds for every $x$. When the right-hand side contains the variable, split into cases on its sign instead of applying the rule blindly.
Solve $\;|2x-7|\le 9$, then solve $\;|3-x|>5$.
First, the “squeeze” type. $|2x-7|\le 9$ becomes $-9\le 2x-7\le 9$. Add $7$: $-2\le 2x\le 16$. Divide by $2$: $\boxed{-1\le x\le 8}$, an interval containing the $10$ integers $-1,0,1,\dots,8$.
Second, the “two sides” type. $|3-x|>5$ splits into $3-x>5$ or $3-x<-5$. First branch: $-x>2$, so $x<-2$. Second branch: $-x<-8$, so $x>8$. Answer: $\boxed{x<-2 \text{ or } x>8}$. Test $x=-3$: $|6|=6>5$, accepted. Test $x=0$: $|3|=3>5$ is false, correctly excluded — the two branches genuinely leave a gap in the middle.
Nhớ bằng hình: $|E|<k$ là “$E$ cách $0$ chưa tới $k$” — một khoảng kẹp giữa, viết được thành bất phương trình kép. $|E|>k$ là “$E$ cách $0$ quá $k$” — hai tia rời nhau, không bao giờ gộp được thành một dãy $-k>E>k$ (dãy đó vô nghĩa).
Word problems: at least, at most, and rounding
“at least”, “no less than”, “minimum” $\to\ \ge$
“at most”, “no more than”, “maximum”, “budget of” $\to\ \le$
“more than”, “exceeds” $\to\ >$ “fewer than”, “under” $\to\ <$
A van weighs $3{,}200$ pounds when empty and carries boxes weighing $45$ pounds each. A bridge allows a total weight of at most $6{,}000$ pounds. What is the greatest number of boxes the van may carry across?
$3200+45b\le 6000$, so $45b\le 2800$ and $b\le 62.22\ldots$. Because $b$ counts boxes, the answer is $\boxed{62}$: $62$ boxes weigh $2790$ lb for a total of $5990$, while $63$ boxes would give $6035>6000$.
Làm tròn sai hướng. Câu hỏi “nhiều nhất” luôn làm tròn xuống dù phần thập phân là $0{,}9$; câu hỏi “ít nhất” luôn làm tròn lên dù phần thập phân là $0{,}1$. Đừng dùng luật làm tròn số học — dùng ngữ cảnh.
A second family of word problems fixes one quantity and asks how far another may move. The structure is always the same: write the total as a linear expression, impose the stated bound, then translate the numerical answer back into whole objects.
- Total $=$ fixed part $+$ (rate)(variable part).
- Bound: attach $\le$, $\ge$, $<$ or $>$ using the phrase in the passage.
- Round in the direction the phrase demands, then verify the boundary case and the one next to it.
Step 3 is not optional: checking $b=62$ and $b=63$ takes five seconds and is the only way to catch an off-by-one.
Hai câu dễ nhầm nhau: “the greatest number of boxes” và “the number of boxes that makes the weight exceed the limit”. Câu đầu ra $62$, câu sau ra $63$. Cả hai đều xuất hiện trong bốn phương án, nên bước kiểm tra hai giá trị liền kề chính là bước ăn điểm — không phải bước giải bất phương trình.