What makes an equation linear
An equation is linear in $x$ when, after all brackets are expanded and all fractions cleared, every term containing $x$ has $x$ to the first power and $x$ never appears inside a denominator, a radical, or an absolute value.
$5x-8=2x+13$ is linear. $x^2-3x=0$ is not (power $2$). $\dfrac{2}{x}=7$ is not as written, but it becomes linear the moment we multiply through by $x$ — with the extra condition $x\neq 0$ carried along.
Điều đáng nhớ không phải là định nghĩa, mà là hệ quả: một phương trình bậc nhất một ẩn chỉ có thể rơi vào đúng ba khả năng — một nghiệm duy nhất, vô nghiệm, hoặc vô số nghiệm. Không có khả năng thứ tư. Phần lớn câu khó của SAT ở chủ đề này không bắt bạn giải, mà bắt bạn chỉ ra phương trình rơi vào khả năng nào và với giá trị tham số nào.
The solving routine
Work in this order. Skipping straight to “move things across” is where most lost points come from.
- Clear fractions — multiply every term by the least common denominator.
- Expand all brackets, watching the sign in front of each bracket.
- Collect $x$-terms on one side, constants on the other.
- Divide by the coefficient of $x$.
- Check restrictions if any denominator contained $x$.
Solve $\;3(2x-5)-4(x+1)=7$.
Expand: $6x-15-4x-4=7$. Collect: $2x-19=7$, so $2x=26$ and $\boxed{x=13}$.
Solve $\;\dfrac{x-2}{3}-\dfrac{2x+1}{5}=1$.
Multiply every term by $15$: $\;5(x-2)-3(2x+1)=15$.
Expand: $5x-10-6x-3=15$, so $-x-13=15$, giving $-x=28$ and $\boxed{x=-28}$.
Nhân LCD nhưng quên nhân cả vế phải. Ở ví dụ trên, vế phải là $1$ — nhân $15$ thành $15$, không phải giữ nguyên $1$.
The three cases — where the marks are
Bring every equation to the form \[ ax+b \;=\; cx+d \qquad\Longleftrightarrow\qquad (a-c)\,x \;=\; d-b . \]
- $a\neq c$: exactly one solution, $x=\dfrac{d-b}{a-c}$.
- $a=c$ and $b\neq d$: no solution (the equation reduces to $0=$ nonzero).
- $a=c$ and $b=d$: infinitely many solutions (it reduces to $0=0$).
Đọc theo cách này: hệ số của $x$ quyết định có nghiệm duy nhất hay không; hằng số quyết định giữa vô nghiệm và vô số nghiệm. Hai câu hỏi tách rời nhau, đừng gộp.
For what value of $c$ does $\;4(x-c)=4x-20\;$ have infinitely many solutions?
Expand the left side: $4x-4c=4x-20$. The $x$-coefficients already match, so we need the constants to match too: $-4c=-20$, giving $\boxed{c=5}$.
For what value of $k$ does $\;kx-3=5x+8\;$ have no solution?
No solution requires equal $x$-coefficients with unequal constants. Setting $k=5$ leaves $-3=8$, which is false for every $x$. Since $-3\neq 8$ automatically, $\boxed{k=5}$ works.
Đề hỏi vô nghiệm mà bạn cho hệ số bằng nhau rồi dừng — phải kiểm tra hai hằng số có khác nhau thật không. Nếu chúng tình cờ bằng nhau thì giá trị đó cho vô số nghiệm, tức là đáp án ngược hẳn.
Denominators that contain the variable
Multiplying by an expression containing $x$ is only valid when that expression is nonzero. Every value that would make a denominator zero must be excluded before solving, and any solution landing on an excluded value is discarded.
Solve $\;\dfrac{2x}{x-3}=5$.
Restriction: $x\neq 3$. Multiply by $x-3$: $2x=5(x-3)=5x-15$, so $-3x=-15$ and $x=5$. Since $5\neq 3$, the solution stands: $\boxed{x=5}$.
Solve $\;\dfrac{x+4}{x-2}=\dfrac{6}{x-2}$.
Restriction: $x\neq 2$. The denominators are identical, so $x+4=6$, giving $x=2$. That is exactly the excluded value, so it must be thrown away: the equation has no solution.
Dạng vừa rồi là bẫy kinh điển: bài giải ra một số rất gọn, học sinh khoanh ngay, nhưng đáp án đúng lại là “no solution”. Cứ thấy mẫu chứa $x$ là ghi điều kiện ra lề trước khi bắt đầu giải.
Absolute value
$|E|=k$ with $k>0$ splits into $E=k$ or $E=-k$. If $k<0$ there is no solution, and if $k=0$ the two branches coincide. When both sides carry absolute values, $|P|=|Q|$ splits into $P=Q$ or $P=-Q$.
Solve $\;|3x-7|=11$.
Branch one: $3x-7=11 \Rightarrow 3x=18 \Rightarrow x=6$. Branch two: $3x-7=-11 \Rightarrow 3x=-4 \Rightarrow x=-\tfrac43$. Solutions: $\boxed{x=6 \text{ and } x=-\tfrac43}$.
Find the sum of all solutions of $\;|2x-5|=|x+4|$.
Branch one: $2x-5=x+4 \Rightarrow x=9$. Branch two: $2x-5=-(x+4)=-x-4 \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x=\tfrac13$. Both check out, so the sum is $9+\tfrac13=\boxed{\tfrac{28}{3}}$.