The laws, in the form the test uses
Every exponent question on the test is one of these six identities read forwards or backwards. Reading them backwards is the harder half and where the marks sit.
\[ b^{m}b^{n}=b^{m+n}\qquad \frac{b^{m}}{b^{n}}=b^{m-n}\qquad (b^{m})^{n}=b^{mn} \] \[ (ab)^{n}=a^{n}b^{n}\qquad b^{-n}=\frac{1}{b^{n}}\qquad b^{0}=1\;(b\neq 0) \]
Ba chữ “không” phải thuộc lòng: $b^{m}+b^{n}$ không gộp được; $(a+b)^{n}$ không bằng $a^{n}+b^{n}$; và số mũ âm không làm cơ số âm — $2^{-3}=\tfrac18$ chứ không phải $-8$. Ba lỗi này chiếm phần lớn điểm mất ở chủ đề này, nhiều hơn hẳn các phép biến đổi phức tạp.
Simplify $\;\left(\dfrac{2x^{-2}y^{3}}{4x^{4}y^{-1}}\right)^{-2}$ for $x\neq 0$, $y\neq 0$.
Inside first. Coefficients: $\tfrac24=\tfrac12$. Then $x^{-2-4}=x^{-6}$ and $y^{3-(-1)}=y^{4}$, so the bracket is $\tfrac12x^{-6}y^{4}$.
Now apply the outer $-2$: $\left(\tfrac12\right)^{-2}=4$, $\;(x^{-6})^{-2}=x^{12}$, $\;(y^{4})^{-2}=y^{-8}$. The result is $\boxed{\dfrac{4x^{12}}{y^{8}}}$.
Số mũ âm ở ngoài ngoặc phải lật cả phân số, kể cả hệ số. $\left(\tfrac12\right)^{-2}=4$, không phải $\tfrac14$ và cũng không phải $-\tfrac14$. Đây là chỗ mất điểm nhiều nhất của dạng rút gọn có ngoặc.
Rational exponents and radicals
For $b>0$, \[ b^{1/n}=\sqrt[n]{b},\qquad b^{m/n}=\left(\sqrt[n]{b}\right)^{m}=\sqrt[n]{b^{m}} . \] The denominator is the root; the numerator is the power. They may be taken in either order, so always take the root first — the numbers stay small.
Simplify $\;(81x^{12})^{3/4}$.
Split the power over the product: $(81)^{3/4}\cdot (x^{12})^{3/4}$.
Root first: $81^{1/4}=3$, then cube it: $3^{3}=27$. For the variable, $12\cdot\tfrac34=9$. The answer is $\boxed{27x^{9}}$.
Doing it the other way round would ask for $81^{3}=531441$ and then a fourth root — same answer, worse arithmetic.
If $\;x^{3/4}=8\;$ and $x>0$, find $x$.
Raise both sides to the reciprocal power $\tfrac43$: $\;\left(x^{3/4}\right)^{4/3}=8^{4/3}$, so $x=\left(\sqrt[3]{8}\right)^{4}=2^{4}=\boxed{16}$.
Check: $16^{3/4}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^{3}=2^{3}=8$. OK
Muốn cô lập $x$ khi $x^{p/q}=c$, hãy nâng hai vế lên số mũ nghịch đảo $q/p$. Đó là cùng một động tác với “chia cho hệ số” ở phương trình bậc nhất — chỉ là ở tầng số mũ. Bấm máy xong nhớ thử ngược lại, vì lật phân số sai là lỗi phổ biến nhất ở đây.
Same base, new period
A question can hand you $A\cdot b^{\,t/k}$ and ask for the growth factor over one unit of $t$, or hand you $A\cdot c^{\,t}$ and ask what happens over $k$ units. Both directions use the same single move.
\[ A\cdot b^{\,t/k}=A\left(b^{1/k}\right)^{t} \qquad\text{and}\qquad A\cdot c^{\,t}=A\left(c^{k}\right)^{t/k}. \] The base changes, the initial value $A$ never does.
A culture is modelled by $\;P(t)=180\cdot 9^{\,t/2}$, where $t$ is measured in hours. Write an equivalent expression that shows the hourly growth factor.
$9^{\,t/2}=\left(9^{1/2}\right)^{t}=3^{t}$, so $P(t)=\boxed{180\cdot 3^{\,t}}$: the culture triples every hour.
Sanity check at $t=2$: the original gives $180\cdot 9^{1}=1620$; the rewrite gives $180\cdot 3^{2}=1620$. OK
Đổi chu kỳ là việc của cơ số, không phải của hệ số đứng trước. Viết $90\cdot 9^{t}$ vì đã “chia đôi” số $180$ là sai ngay ở $t=0$: giá trị ban đầu phải giữ nguyên $180$. Thử $t=0$ là cách kiểm tra nhanh nhất cho mọi câu viết lại hàm mũ.
Solve $\;9^{\,x+1}=27^{\,x-1}$.
Write both sides on base $3$: $\;(3^{2})^{x+1}=(3^{3})^{x-1}$, i.e.\ $3^{2x+2}=3^{3x-3}$.
Equal bases force equal exponents: $2x+2=3x-3$, so $\boxed{x=5}$.
Radical equations and the roots you must throw away
Squaring both sides is legal, but it is not reversible: $-3$ and $3$ have the same square, so a squared equation can carry solutions the original never had. Those are extraneous.
- Isolate one radical on its own side.
- Square. If a radical survives, isolate and square again.
- Solve the polynomial equation you now have.
- Substitute every root into the original equation. Not into the squared one.
A faster filter: $\sqrt{\;\cdot\;}$ is never negative, so if the equation reads $\sqrt{E}=x-4$, any solution must satisfy $x-4\geq 0$ before anything else.
Solve $\;\sqrt{2x+7}=x-4$.
Sign condition: $x-4\geq 0$, so $x\geq 4$.
Square: $2x+7=x^{2}-8x+16$, giving $x^{2}-10x+9=0$ and $(x-1)(x-9)=0$, so $x=1$ or $x=9$.
Only $x=9$ meets $x\geq 4$. Check: $\sqrt{25}=5=9-4$. OK For $x=1$: $\sqrt{9}=3$ but $1-4=-3$. Rejected. Answer $\boxed{x=9}$.
Solve $\;\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1$.
Isolate: $\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x}$. Square both complete sides: \[ x+5=1+2\sqrt{x}+x . \] The $x$ cancels: $4=2\sqrt{x}$, so $\sqrt{x}=2$ and $x=4$.
Check in the original: $\sqrt{9}-\sqrt{4}=3-2=1$. OK Answer $\boxed{x=4}$.
Bình phương $(1+\sqrt{x})$ thành $1+x$ là lỗi chết người: mất hẳn số hạng chéo $2\sqrt{x}$. Mất nó thì phương trình rút gọn thành $5=1$ và học sinh kết luận “vô nghiệm” — trong khi đáp án đúng là $x=4$. Cứ bình phương một tổng là phải viết đủ ba số hạng.
Expressions you cannot evaluate
Many hard items give a value like $2^{x}=7$ and ask for another power. You are not meant to find $x$. You are meant to rewrite the target so the given block appears inside it.
If $\;2^{x}=7$, what is the value of $4^{\,x+1}$?
Peel the $+1$ off first: $4^{\,x+1}=4^{x}\cdot 4$.
Now match bases: $4^{x}=(2^{2})^{x}=(2^{x})^{2}=7^{2}=49$.
Therefore $4^{\,x+1}=49\cdot 4=\boxed{196}$.
For $x>0$, write $\;\dfrac{\sqrt{x^{5}}\cdot x^{1/2}}{x^{-1/4}}\;$ in the form $x^{n}$.
Convert everything to exponents: $\sqrt{x^{5}}=x^{5/2}$. Multiplying adds, dividing subtracts: \[ n=\frac52+\frac12-\left(-\frac14\right)=\frac{10}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{13}{4} . \] So the expression equals $\boxed{x^{13/4}}$.
Quy tắc làm việc: gặp biểu thức mũ lạ, đừng tìm $x$. Hãy hỏi “cơ số chung là số nào” rồi viết mọi thứ về cơ số đó. Ba cơ số hay gặp nhất trong đề là $2$ (cùng $4$, $8$, $16$), $3$ (cùng $9$, $27$) và $5$ (cùng $25$, $125$). Nhận ra $8=2^{3}$ trong nửa giây là đủ để câu này thành câu $30$ giây.