Outside changes the output, inside changes the input
Every transformation on this list is one of two kinds. Something done to $f(x)$ after the function has run changes the $y$-value; something done to $x$ before it enters the function changes the $x$-value.
| Expression | Effect | Where |
|---|---|---|
| $f(x)+c$ | shift up $c$ (down if $c<0$) | outside, vertical |
| $f(x-c)$ | shift right $c$ (left if $c<0$) | inside, horizontal |
| $-f(x)$ | reflect across the $x$-axis | outside, vertical |
| $f(-x)$ | reflect across the $y$-axis | inside, horizontal |
| $a\,f(x)$, $a>1$ | stretch vertically by $a$ | outside, vertical |
| $f(bx)$, $b>1$ | compress horizontally by $b$ | inside, horizontal |
Vertical changes do exactly what they say. Horizontal changes do the opposite: $f(x-3)$ moves the graph right, and $f(2x)$ squeezes it. The reason is that the input must be repaired before it reaches $f$ — to get the old output at the new place, $x$ has to be $3$ larger, or half as large.
Đây là chỗ mất điểm hàng loạt, và lý do rất cụ thể: trong ngoặc là đầu vào, ngoài ngoặc là đầu ra. Đầu ra thì làm gì thấy nấy — cộng $3$ là lên $3$. Đầu vào thì phải bù trừ — muốn đồ thị dịch sang phải $3$, phải trừ $3$ ngay trong ngoặc. Cách nhớ chắc nhất không phải học thuộc, mà là theo dõi một điểm: điểm nào của đồ thị mới lấy giá trị cũ?
The point $(-3,4)$ lies on the graph of $y=f(x)$. Where does it move on the graph of $y=f(x+5)-2$?
Ask which input makes the bracket equal to $-3$: $x+5=-3$ gives $x=-8$. At that place the height is $f(-3)-2=2$. So the image point is $\boxed{(-8,2)}$ — left $5$, down $2$, exactly as the formula advertises.
Cả đồ thị đi theo đúng đường mà đỉnh đi: sang phải $3$, xuống $2$.
Shifts, and the point that matters
Questions almost never ask for the whole new graph. They ask for one landmark: the vertex, an intercept, a maximum. Track that single point.
The vertex of the parabola $y=f(x)$ is $(3,-5)$. What is the vertex of $y=f(x+4)+2$?
Inside: $x+4$ means shift left $4$, so $3-4=-1$. Outside: $+2$ means up $2$, so $-5+2=-3$. The new vertex is $\boxed{(-1,-3)}$.
$f(x)=x^2+6x+5$ and $g(x)=f(x-2)$. What is the vertex of the graph of $y=g(x)$?
First find the vertex of $f$: the axis is $x=-\dfrac{6}{2}=-3$ and $f(-3)=9-18+5=-4$, so the vertex is $(-3,-4)$. The transformation is a shift right $2$ with no vertical change, so the vertex of $g$ is $\boxed{(-1,-4)}$.
Answering $(-1,-2)$ means the $2$ was applied to the height as well; answering $(-5,-4)$ means the shift went the wrong way.
Đề viết $y=f(x+2)$ thì đồ thị đi sang trái. Cách kiểm tra trong ba giây: giá trị $f(0)$ — vốn nằm ở $x=0$ — bây giờ xuất hiện khi $x+2=0$, tức tại $x=-2$. Điểm đó đã dịch sang trái.
Reflections
$-f(x)$ flips the graph over the $x$-axis: every height changes sign, and a maximum becomes a minimum. $f(-x)$ flips it over the $y$-axis: every input changes sign, and left–right order reverses.
The graph of $g$ is the graph of $f(x)=x^2$ reflected across the $y$-axis and then shifted $3$ units down. Write $g(x)$.
Reflecting across the $y$-axis gives $f(-x)=(-x)^2$. But $(-x)^2=x^2$ for every $x$, so the reflection changes nothing at all — the graph of $x^2$ is symmetric about the $y$-axis. Shifting down $3$ then gives $\boxed{g(x)=x^2-3}$.
The offered trap is $-x^2-3$, which is the reflection across the wrong axis.
Đồ thị đối xứng sẵn qua trục tung — như $|x|$, $x^2$, $x^4$ — thì phép đối xứng qua trục tung không đổi gì cả. Gặp câu này mà vẫn máy móc đổi dấu là tự tạo ra một đồ thị khác. Ngược lại, đối xứng qua trục hoành thì luôn đổi: cực đại thành cực tiểu, đi lên thành đi xuống.
Stretches and compressions
$a\,f(x)$ multiplies every height by $a$: $x$-intercepts stay put, everything else moves away from (or toward) the $x$-axis. $f(bx)$ divides every $x$-coordinate by $b$: the $y$-intercept stays put, everything else moves toward (or away from) the $y$-axis.
The graph of $y=f(x)$ has an $x$-intercept at $x=12$. Where is the corresponding $x$-intercept of $y=f(3x)$?
The output is zero when the bracket is $12$: $3x=12$, so $x=4$. The intercept moves to $\boxed{x=4}$ — a third of the way in, because tripling the input reaches the same place three times as fast.
For $y=f\!\left(\tfrac{x}{2}\right)$ the same reasoning gives $\tfrac{x}{2}=12$, so $x=24$.
Nhân ngoài là kéo theo chiều dọc, nhân trong là bóp theo chiều ngang — và bóp theo hệ số nghịch đảo. Hai câu hỏi phân biệt được ngay bằng một mẹo: phép nào giữ nguyên giao điểm với trục hoành thì là phép dọc; phép nào giữ nguyên giao điểm với trục tung thì là phép ngang.
Combining transformations
When several transformations act, write the final expression and read it in the order the operations actually reach a value: inside first (right to left along the input), outside last.
$2f(x)+3$ stretches first, then lifts by $3$.
$2\bigl(f(x)+3\bigr)=2f(x)+6$ lifts first, then stretches — and the lift gets doubled too.
The two graphs differ by $3$ units everywhere.
The graph of $y=f(x)$ has a maximum at $(-2,6)$. Describe the corresponding point on the graph of $y=-3f(x+1)+5$.
Horizontal: $x+1$ shifts left $1$, so $-2\to -3$. Vertical: height $6$ becomes $-3(6)+5=-13$. Because the multiplier is negative, the graph flips, so the maximum becomes a minimum at $\boxed{(-3,-13)}$.
The graph of $y=f(x)$ crosses the $x$-axis at $x=-2$ and $x=4$ only. Where does the graph of $y=f(2x+8)$ cross the $x$-axis?
Do not read $+8$ as a shift of $8$: the coefficient of $x$ must come out first, $f(2x+8)=f\bigl(2(x+4)\bigr)$, which is a shift left $4$ followed by a horizontal compression by $2$.
Faster and safer, solve for the inputs directly: \[ 2x+8=-2 \Rightarrow x=-5, \qquad 2x+8=4 \Rightarrow x=-2 . \] The crossings are at $\boxed{x=-5 \text{ and } x=-2}$.
Với $f(2x+8)$, chia đôi trước rồi mới trừ $8$, hoặc bỏ luôn số $8$ — cả hai lối làm đó đều có sẵn một phương án chờ trong bốn lựa chọn. Cách không bao giờ sai: đặt biểu thức trong ngoặc bằng giá trị cũ rồi giải phương trình.
Exponential models: stretching changes the period
An exponential written $y=A\,b^{\,x/k}$ multiplies by $b$ once every $k$ units of $x$. The divisor $k$ inside the exponent is a horizontal stretch, and in context it is exactly the doubling time, tripling time, or half-life.
$A\,b^{\,x/k}=A\bigl(b^{1/k}\bigr)^{x}$. Changing the period and changing the base are the same move written two ways.
The function $f(x)=7(16)^{x/2}$ is rewritten in the form $f(x)=7\,b^{\,x}$. Find $b$.
$16^{x/2}=\bigl(16^{1/2}\bigr)^{x}=4^{x}$, so $\boxed{b=4}$.
Check at $x=2$: the original gives $7\cdot 16=112$ and the rewrite gives $7\cdot 4^2=112$. The distractor $8$ comes from dividing $16$ by $2$ instead of taking the square root.
Trong bài toán thực tế, số chia trong số mũ chính là chu kỳ: $P(t)=500\cdot 2^{\,t/9}$ đọc là “cứ $9$ năm thì gấp đôi”. Muốn biết bao lâu thì gấp $8$ lần, viết $2^{t/9}=8=2^3$ rồi so số mũ, được $t=27$ — không cần máy tính, không cần logarit.