The two numbers in an exponential model
Every exponential model on the test has the shape \[ f(t)=a\cdot b^{t},\qquad a\neq0,\; b>0,\; b\neq1 . \] Here $a=f(0)$ is the value at the start, and $b$ is the number the quantity is multiplied by during each unit of $t$.
$b>1$ means growth; $0<b<1$ means decay. The percent change per period is $b-1$ written as a percent: $b=1.12$ is $+12\%$, and $b=0.85$ is $-15\%$.
A population of $4{,}000$ increases by $12\%$ each year. Write the model and find the population after $3$ years, rounded to the nearest whole number.
Each year the population is multiplied by $1+0.12=1.12$, so $P(t)=4000(1.12)^{t}$.
$P(3)=4000(1.12)^{3}=4000(1.404928)=5619.712\approx\boxed{5620}$.
A delivery van bought for $12{,}000$ dollars loses $30\%$ of its value every year. What is it worth after $2$ years?
The decay factor is $1-0.30=0.70$, so $V(t)=12000(0.7)^{t}$ and $V(2)=12000(0.49)=\boxed{5880}$ dollars.
Losing $30\%$ of the current value twice is not the same as losing $60\%$ of the original: that would give $12000-7200=4800$, a different and wrong number.
Ba cách viết sai hệ số cho câu “giảm $15\%$ mỗi năm”: $1.15$ (nhầm giảm thành tăng), $0.15$ (lấy phần mất thay vì phần còn lại), $-0.15$ (số âm, hàm mũ không nhận). Hệ số đúng là $0.85$. Cả ba số sai đó đều nằm sẵn trong bốn phương án.
Phân biệt cốt lõi của cả chủ đề: mô hình tuyến tính cộng thêm cùng một lượng mỗi kì, mô hình mũ nhân với cùng một hệ số mỗi kì. Đề thật hay mô tả bằng lời — “increases by $200$ each year” là tuyến tính, “increases by $8\%$ each year” là mũ. Chỉ một chữ khác nhau nhưng đổi hẳn dạng hàm.
Consecutive outputs with a constant difference come from a linear model; consecutive outputs with a constant ratio come from an exponential one. Test the ratio first — it is a single division, and it hands you $b$ immediately.
A function $f$ satisfies $f(1)=18$, $f(2)=27$, $f(3)=40.5$ and $f(4)=60.75$. Write $f$ in the form $a\cdot b^{t}$.
Ratios: $\dfrac{27}{18}=1.5$, $\dfrac{40.5}{27}=1.5$, $\dfrac{60.75}{40.5}=1.5$. The ratio is constant, so the model is exponential with $b=1.5$.
The table never gives $f(0)$, so $a$ must be walked back one step: $a\cdot1.5=18$ gives $a=12$. Hence $\boxed{f(t)=12(1.5)^{t}}$, and $f(3)=12(3.375)=40.5$ confirms it.
Lấy luôn số đầu tiên của bảng làm $a$. Chữ $a$ là $f(0)$, mà bảng ở trên bắt đầu từ $f(1)$ — phải chia ngược cho $b$ một lần: $a=18/1.5=12$, không phải $18$. Cùng lỗi này xuất hiện khi bảng bắt đầu từ năm $2020$ mà mô hình lại tính $t$ từ $2018$.
Changing the clock: a period that is not one unit
When the quantity multiplies by $b$ once every $k$ units of time, the model is \[ f(t)=a\cdot b^{\,t/k}. \] Reading it backwards: the number in the base is the factor for one full period of length $k$, not for one unit of $t$.
$V(t)=5000(1.06)^{2t}$ gives the value of an account after $t$ years. By what percent does the account grow in one year, to the nearest tenth?
One year means $t=1$, so the factor is $(1.06)^{2}=1.1236$.
The increase is $0.1236$, that is $\boxed{12.4\%}$ per year — not $2\times6\%=12\%$, because the second half-year earns interest on the first half-year's interest.
$f(t)=960\left(\tfrac12\right)^{t/5}$ gives the grams of a substance remaining after $t$ days. How much remains after $20$ days?
$\dfrac{20}{5}=4$, so the substance halves four times: $f(20)=960\left(\tfrac12\right)^{4}=\dfrac{960}{16}=\boxed{60}$ grams.
Đọc $\left(\tfrac12\right)^{t/5}$ thành “mỗi ngày còn một nửa”. Số $\tfrac12$ là hệ số cho trọn $5$ ngày. Muốn hệ số mỗi ngày thì phải lấy $\left(\tfrac12\right)^{1/5}\approx0.871$, tức giảm khoảng $12.9\%$ một ngày — khác hẳn.
Equivalent forms of the same function
Because $\left(b^{m}\right)^{n}=b^{mn}$, one exponential function has many faces. Questions that ask “which of the following is equivalent” are pure exponent algebra.
Which expression is equivalent to $\;1200(1.21)^{x}$?
Since $1.21=(1.1)^{2}$, we get $1200(1.21)^{x}=1200\bigl((1.1)^{2}\bigr)^{x}= \boxed{1200(1.1)^{2x}}$.
In words: growing $21\%$ per period is the same as growing $10\%$ per half-period.
Câu “equivalent form” luôn giải được bằng cách nhìn cơ số: hỏi “số này có phải luỹ thừa của một số đẹp hơn không”. $1.21=1.1^{2}$, $2.25=1.5^{2}$, $8=2^{3}$, $0.25=0.5^{2}$. Nhận ra cặp đó xong thì phần còn lại chỉ là chuyển số mũ.
Doubling, tripling, half-life
“Doubles every $k$ units” means $b=2$ with the exponent $t/k$; “half-life $k$” means $b=\tfrac12$ with the same exponent. If the period itself is unknown, one data point pins it down.
A quantity is modelled by $f(t)=25\,(2)^{t/k}$ and $f(24)=400$. What is $k$?
$\dfrac{400}{25}=16=2^{4}$, so $2^{24/k}=2^{4}$ and $\dfrac{24}{k}=4$, giving $\boxed{k=6}$.
The quantity doubles every $6$ units of time.
A bacterial culture doubles every $3$ hours. There are $150$ cells at $t=0$. How many are there after $12$ hours?
$N(t)=150\,(2)^{t/3}$, and $\dfrac{12}{3}=4$, so $N(12)=150\cdot2^{4}=150\cdot16=\boxed{2400}$.
Recovering the model, and racing a line
Two data points determine $a$ and $b$ completely: $a$ comes from $f(0)$, and $b$ comes from the ratio of two values.
For $f(x)=a\cdot b^{x}$ with $b>0$, $f(0)=5$ and $f(3)=320$. What is $b$?
$f(0)=a=5$. Then $5b^{3}=320$, so $b^{3}=64$ and $b=4$ (a base must be positive, and here the cube root is unique anyway). Hence $f(x)=5\cdot4^{x}$.
An investment grows exponentially from $500$ dollars to $605$ dollars over two years. By what percent does it grow each year?
Two years multiply the value by $\dfrac{605}{500}=1.21$, and that is $b^{2}$, not $b$.
So $b=\sqrt{1.21}=1.1$: the investment grows $\boxed{10\%}$ per year. Halving the total increase instead — $21\%\div2=10.5\%$ — is the offered wrong answer, and it is wrong because the second year earns on the first year's growth.
$h(t)=100+40t$ and $p(t)=100(1.3)^{t}$ start at the same value. What is the least integer $t$ for which $p(t)>h(t)$?
$t=1$: $p=130$, $h=140$. $t=2$: $p=169$, $h=180$. $t=3$: $p=219.7$, $h=220$. $t=4$: $p=285.61$, $h=260$.
The exponential model first passes the linear one at $\boxed{t=4}$ — at $t=3$ it is still behind, by less than a unit.
Ví dụ trên là hình ảnh nên nhớ của cả chủ đề: mô hình mũ khởi đầu chậm hơn mô hình tuyến tính, thua trong vài kì đầu, rồi vượt hẳn và không bao giờ bị bắt kịp nữa. Câu hỏi “sau bao lâu thì vượt” luôn giải bằng cách lập bảng vài giá trị nguyên, không cần logarit.