The theorem, and which letter is $c$
In a triangle with sides $a$, $b$, $c$ where $c$ is the longest side: \[a^2+b^2=c^2 \iff \text{the angle opposite }c\text{ is a right angle}.\] The arrow runs both ways. Left to right computes a missing side; right to left proves the triangle is right without measuring anything.
In the figure the right angle sits at $B$, so the hypotenuse is the side opposite $B$, namely $AC$ — labelled $b$ here on purpose. The hypotenuse is not “the letter $c$” and not “the side drawn slanted”; it is the side across from the right angle, and it is always the longest of the three.
Cắm số vào $a^2+b^2=c^2$ theo thứ tự đề cho. Nếu đề cho cạnh huyền $26$ và một cạnh góc vuông $10$ mà bạn viết $26^2+10^2=c^2$, kết quả $\sqrt{776}\approx27{,}9$ trông hoàn toàn bình thường — không có gì báo động. Việc đầu tiên luôn là khoanh tròn cạnh huyền, rồi mới viết phương trình.
A right triangle has legs $15$ and $20$. Find the hypotenuse.
$15^2+20^2=225+400=625$, so $c=25$. Faster: $15$-$20$-$25$ is $3$-$4$-$5$ scaled by $5$. Answer $\boxed{25}$.
A right triangle has hypotenuse $25$ and one leg $7$. Find the other leg.
$b^2=25^2-7^2=625-49=576$, so $b=24$. Faster: $7$-$24$-$25$ is one of the four triples. Answer $\boxed{24}$.
The triples, and the trap inside them
Memorise these four and every multiple: \[3\text{-}4\text{-}5,\qquad 5\text{-}12\text{-}13,\qquad 8\text{-}15\text{-}17,\qquad 7\text{-}24\text{-}25.\] Multiples seen constantly: $6$-$8$-$10$, $9$-$12$-$15$, $12$-$16$-$20$, $10$-$24$-$26$, $15$-$36$-$39$, $16$-$30$-$34$.
Bộ ba chỉ là công cụ tăng tốc, không phải luật. Hai điều kiện phải thoả cùng lúc mới dùng được: tam giác phải vuông, và con số lớn nhất trong bộ phải là cạnh huyền. Tam giác có hai cạnh $3$ và $5$ không tự động có cạnh thứ ba là $4$ — nếu $5$ là cạnh huyền thì cạnh kia là $4$, nhưng nếu $3$ và $5$ đều là cạnh góc vuông thì cạnh huyền là $\sqrt{34}$. Đọc kỹ xem $5$ đứng ở đâu.
A right triangle has legs of length $x$ and $x+2$, and hypotenuse $10$. Find $x$.
$x^2+(x+2)^2=100$ expands to $2x^2+4x+4=100$, so $2x^2+4x-96=0$ and $x^2+2x-48=0$. Factoring, $(x+8)(x-6)=0$, and length must be positive, so $x=\boxed{6}$. The legs are $6$ and $8$ — the $3$-$4$-$5$ triple doubled.
Distance in the plane, diagonals in space
\[d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\qquad\text{(plane)},\] \[d=\sqrt{\ell^2+w^2+h^2}\qquad\text{(space diagonal of a box)}.\] The second follows from applying the first twice: the base diagonal is $\sqrt{\ell^2+w^2}$, and that diagonal together with the height forms a second right triangle.
A rectangular box measures $6$ by $6$ by $7$. Find the length of its space diagonal.
$d=\sqrt{36+36+49}=\sqrt{121}=\boxed{11}$. Step by step: the $6$-by-$6$ base has diagonal $\sqrt{72}$; then $72+49=121$ gives $11$.
Find the distance between $(3,-4)$ and $(-5,11)$.
$\Delta x=-5-3=-8$ and $\Delta y=11-(-4)=15$, so $d=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=\boxed{17}$ — an $8$-$15$-$17$ triple. Signs never matter here because both differences get squared.
When the question gives area or perimeter instead
Most exam questions on this topic never hand over two sides. They hand over one side plus an area, or a hypotenuse plus a perimeter, and expect the algebra to be done first.
A right triangle has one leg of length $5$ and area $30$. Find its hypotenuse.
Area of a right triangle uses the two legs: $\tfrac12(5)(b)=30$, so $b=12$. Then $c=\sqrt{25+144}=\boxed{13}$.
A right triangle has hypotenuse $13$ and perimeter $30$. Find its area.
Let the legs be $a$ and $b$. Then $a+b=30-13=17$ and $a^2+b^2=169$. Square the first: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \;\Longrightarrow\; 289=169+2ab \;\Longrightarrow\; ab=60.\] Area $=\tfrac12 ab=\boxed{30}$. Note that neither leg was ever found separately — and neither needed to be. (They happen to be $5$ and $12$.)
Ví dụ vừa rồi là mẫu tư duy đáng học nhất của chương: đề hỏi diện tích, mà diện tích chỉ cần tích $ab$, nên đừng đi tìm $a$ và $b$ riêng lẻ. Hằng đẳng thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ biến “tổng và tổng bình phương” thành “tích” trong một dòng. Cứ thấy đề cho chu vi cùng cạnh huyền là nghĩ ngay tới phép bình phương tổng này.
A chord of a circle has length $16$, and the radius of the circle is $10$. How far is the chord from the centre?
The perpendicular from the centre bisects the chord, creating a right triangle with hypotenuse $10$ (a radius) and one leg $8$ (half the chord). The distance is $\sqrt{100-64}=\boxed{6}$.
The converse as a classifier
Let $c$ be the longest side. Compare $a^2+b^2$ with $c^2$: \[a^2+b^2>c^2\Rightarrow\text{acute},\qquad a^2+b^2=c^2\Rightarrow\text{right},\qquad a^2+b^2<c^2\Rightarrow\text{obtuse}.\] Before any of that, check the triangle exists at all: the two shorter sides must add to more than the longest.
Classify the triangle with sides $9$, $12$ and $16$.
It exists: $9+12=21>16$. Longest side $16$, so compare $81+144=225$ with $256$. Since $225<256$, the triangle is $\boxed{\text{obtuse}}$ — the obtuse angle sits opposite the side of length $16$.
So $a^2+b^2$ với bình phương của một cạnh không phải cạnh dài nhất. Với bộ $9,12,16$, nếu lấy $9^2+16^2$ so với $12^2$ thì ra $337>144$ và bạn kết luận “nhọn” — sai hẳn. Phép so sánh chỉ có nghĩa khi $c$ là cạnh dài nhất, vì góc lớn nhất luôn đối diện cạnh dài nhất.
Hình trong đề vẽ không theo tỉ lệ, nên không được nhìn hình để đoán tam giác vuông hay tù. Dữ kiện duy nhất dùng được là ba con số. Ngược lại, khi ba số thoả $a^2+b^2=c^2$ thì tam giác vuông chắc chắn, dù hình vẽ trông tù đến đâu — và lúc đó diện tích tính ngay bằng nửa tích hai cạnh góc vuông, không cần dựng đường cao.