What “equivalent” actually means
Two expressions are equivalent when they take the same value at every $x$ in the common domain. That is a much stronger statement than agreeing at one convenient value, and it gives the two standard attacks.
Match coefficients. If two polynomials agree for all $x$, then the coefficient of each power agrees. This is exact, and it is the only reliable method when letters appear.
Test a number. Substitute one value into the given expression and into each option; any option that disagrees is dead. Fast, but it only eliminates — if two options survive, test a second number.
Chọn số để thử theo ba luật: tránh $0$ và $1$ (chúng làm nhiều biểu thức khác nhau trùng giá trị), tránh mọi số làm mẫu bằng $0$, và chọn số vừa đủ nhỏ để tính nhẩm — $2$, $3$, $5$ là tốt nhất. Với biểu thức có hai biến, cho hai biến hai số khác nhau, vì đặt $x=y$ sẽ giấu mất chính chỗ sai.
Which expression is equivalent to $\;(x+3)^{2}-(x-3)^{2}$?
Expand: $\left(x^{2}+6x+9\right)-\left(x^{2}-6x+9\right)=12x$.
Test to confirm: at $x=2$ the original is $25-1=24$, and $12x=24$. OK
Answer: $\boxed{12x}$. Note that testing $x=0$ would have given $0$ for the original and for $12x$, $x^{2}$, $5x$ — a value that eliminates nothing.
Thử số chỉ loại, không chứng minh. Hai phương án cùng qua một phép thử là chuyện bình thường; khi đó phải thử số thứ hai. Và nếu bốn phương án chỉ khác nhau ở hệ số của một bậc cao, hãy so hệ số thẳng thay vì thử — nhanh hơn và không có rủi ro.
Where testing numbers breaks
Equivalence is claimed only on the common domain, so an excluded point is not a counterexample — and it is also not a safe test value.
$\dfrac{x^{2}-9}{x+3}$ and $x-3$ are equivalent for every $x\neq -3$. At $x=-3$ the first is undefined and the second equals $-6$. A question about this pair will always carry the phrase “for $x\neq -3$”, and that phrase is the instruction to cancel.
Matching coefficients
If $\;(ax+3)(2x-1)=6x^{2}+bx-3\;$ for all $x$, find $a$ and $b$.
Expand the left side: $2ax^{2}-ax+6x-3=2ax^{2}+(6-a)x-3$.
Match $x^{2}$: $2a=6$, so $a=3$. Match $x$: $b=6-a=3$.
So $\boxed{a=3,\;b=3}$, and the identity reads $(3x+3)(2x-1)=6x^{2}+3x-3$.
If $\;(3x-2)(x+k)=3x^{2}+13x-10\;$ for all $x$, find $k$.
The constant term is the fastest entry point: $-2k=-10$, so $k=5$.
Verify the middle term: $3k-2=15-2=13$. OK Answer: $\boxed{k=5}$.
Khi so hệ số, hãy bắt đầu từ bậc ít số hạng nhất — thường là hằng số hoặc bậc cao nhất. Ở ví dụ trên, hằng số chỉ có một cách tạo ra ($-2\cdot k$) nên cho ngay $k$; còn hệ số bậc nhất là tổng của hai tích, giải chậm hơn. Chọn đúng phương trình để bắt đầu tiết kiệm nửa thời gian.
Rewriting into the form the question wants
The question almost never says “simplify”. It says “which of the following is equivalent”, and the four options all share one shape. Read the shape first, then aim at it.
Write $\;2x^{2}-12x+5\;$ in the form $a(x-h)^{2}+k$.
Factor $2$ out of the $x$-terms only: $2\left(x^{2}-6x\right)+5$.
Complete the square inside: $x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9$.
So the expression is $2\left[(x-3)^{2}-9\right]+5=\boxed{2(x-3)^{2}-13}$.
Check at $x=0$: original $=5$; rewritten $=2(9)-13=5$. OK
Số $-9$ nằm trong ngoặc nên khi đưa ra ngoài phải nhân với $2$, thành $-18$. Quên nhân là ra $2(x-3)^{2}-4$ — sai. Cứ hoàn thành bình phương xong là thử một giá trị $x$ bất kỳ để soát, mất năm giây.
Write $\;\dfrac{x^{2}+7x+10}{x+3}\;$ in the form $q(x)+\dfrac{r}{x+3}$.
Ask what multiple of $(x+3)$ starts like $x^{2}+7x$: it is $(x+3)(x+4)=x^{2}+7x+12$.
The numerator falls $2$ short of that, so \[ \frac{x^{2}+7x+10}{x+3}=\frac{(x+3)(x+4)-2}{x+3}=\boxed{x+4-\frac{2}{x+3}} . \] Check at $x=0$: original $=\tfrac{10}{3}$; rewritten $=4-\tfrac23=\tfrac{10}{3}$. OK
If $\;3^{x}=4$, what is the value of $\;9^{x}+3^{\,x+2}$?
Rewrite both terms on base $3$: $9^{x}=\left(3^{2}\right)^{x}=\left(3^{x}\right)^{2}=4^{2}=16$, and $3^{\,x+2}=3^{x}\cdot 9=36$.
Sum: $16+36=\boxed{52}$.
Transformations are equivalent forms too
- $x\rightarrow x-h$ shifts the graph right by $h$. The sign feels backwards because it is: the input must be $h$ larger to produce the same output.
- $+k$ shifts up by $k$.
- $a<0$ reflects across the $x$-axis; a minimum becomes a maximum.
- $x\rightarrow bx$ compresses horizontally by a factor $b$: the point that was at $x_{0}$ now sits at $x_{0}/b$.
The graph of $y=f(x)$ has a minimum at $(2,-5)$. Where is the corresponding point on the graph of $\;y=f(x-4)+3$? And on $\;y=-f(x)$?
For $y=f(x-4)+3$: the input must satisfy $x-4=2$, so $x=6$, and the output rises by $3$ to $-2$. The minimum is at $\boxed{(6,-2)}$.
For $y=-f(x)$: the input is unchanged at $x=2$; the output flips sign to $5$. Since the whole graph is reflected, this point is now a maximum at $\boxed{(2,5)}$.
The graph of $y=f(x)$ passes through $(4,7)$. Which point must lie on the graph of $\;y=-2f(x+1)+3$?
Work on the input first: we need $x+1=4$, so $x=3$.
Then the output: $-2\cdot 7+3=-14+3=-11$.
The point is $\boxed{(3,-11)}$.
Thứ tự làm việc cố định: xử lý đầu vào trước (giải $x-h$ hoặc $bx$ bằng hoành độ đã cho), rồi mới xử lý đầu ra (nhân $a$ rồi cộng $k$). Làm ngược thứ tự, hoặc cộng $k$ trước khi nhân $a$, là ra một điểm trông rất hợp lý — và nó luôn có mặt trong bốn phương án.