The three forms at a glance
The same parabola can be written three ways. Each one hands you a different piece of information for free, and each one hides the other two.
- Standard $y=ax^2+bx+c$ — gives the $y$-intercept $(0,c)$ at once.
- Vertex $y=a(x-h)^2+k$ — gives the vertex $(h,k)$, the axis of symmetry $x=h$, and the minimum (or maximum) value $k$.
- Factored $y=a(x-r)(x-s)$ — gives the $x$-intercepts $(r,0)$ and $(s,0)$.
In all three, the sign of $a$ decides the direction: $a>0$ opens upward and $k$ is a minimum; $a<0$ opens downward and $k$ is a maximum.
Câu hỏi thật của đề luôn là: “đề đang hỏi thông tin gì, và dạng nào cho sẵn thông tin đó?” Hỏi giá trị nhỏ nhất thì đi về dạng đỉnh. Hỏi giao điểm với trục hoành thì đi về dạng nhân tử. Hỏi giao điểm với trục tung thì thay $x=0$ vào bất kỳ dạng nào. Chọn sai dạng không làm bạn sai đáp án, nhưng làm bạn mất gấp đôi thời gian — và trên module thứ hai thì thời gian chính là điểm.
Standard form and the axis of symmetry
A parabola is symmetric about the vertical line through its vertex, and that line always sits at \[ x=-\frac{b}{2a}. \] Substituting that $x$ back into the equation gives the $y$-coordinate of the vertex.
Find the vertex and the axis of symmetry of $\;y=x^2-8x+11$.
$x=-\dfrac{-8}{2(1)}=4$, so the axis of symmetry is $x=4$.
Then $y=4^2-8(4)+11=16-32+11=-5$. The vertex is $\boxed{(4,-5)}$ and, since $a=1>0$, the minimum value of $y$ is $-5$.
Đề hỏi “the minimum value of $y$” thì đáp án là $-5$ (tung độ đỉnh). Đề hỏi “the value of $x$ at which $y$ is minimum” thì đáp án là $4$ (hoành độ đỉnh). Hai con số đều nằm trong bốn phương án. Đọc lại đề sau khi tìm được đỉnh, luôn luôn.
Vertex form and completing the square
To get from standard form to vertex form, complete the square. When $a\neq 1$, factor $a$ out of the first two terms before halving anything.
Write $\;y=3x^2+12x+5\;$ in vertex form and state the minimum value of $y$.
Factor $3$ out of the $x$-terms only: \[ y=3\!\left(x^2+4x\right)+5. \] Half of $4$ is $2$ and $2^2=4$, so add and subtract $4$ inside the bracket: \[ y=3\!\left(x^2+4x+4-4\right)+5=3(x+2)^2-12+5=3(x+2)^2-7. \] The vertex is $(-2,-7)$ and the minimum value of $y$ is $\boxed{-7}$.
Cộng $4$ trong ngoặc thì thực chất đã cộng $3\times 4=12$ vào biểu thức, nên phải trừ lại $12$ chứ không phải $4$. Đây là lỗi số một khi $a\neq 1$. Kiểm nhanh: khai triển ngược $3(x+2)^2-7=3x^2+12x+12-7=3x^2+12x+5$ — khớp thì yên tâm.
The parabola $\;y=-3(x-2)^2+12\;$ is given. Find its maximum value and its $x$-intercepts.
Since $a=-3<0$ the parabola opens downward, so the vertex $(2,12)$ is the highest point and the maximum value of $y$ is $12$.
For the $x$-intercepts set $y=0$: $-3(x-2)^2=-12$, so $(x-2)^2=4$ and $x-2=\pm 2$, giving $x=4$ and $x=0$. The intercepts are $\boxed{(0,0) \text{ and } (4,0)}$.
Factored form and the symmetry shortcut
If a parabola crosses the $x$-axis at $r$ and $s$, the axis of symmetry is exactly halfway between them. This is faster than $-b/2a$ whenever the equation is already factored, and it generalises to any two points with the same $y$-value.
$x$-intercepts at $r$ and $s$ $\;\Longrightarrow\;$ axis of symmetry at
$x=\dfrac{r+s}{2}$.
More generally, if $(p,\,y_0)$ and $(q,\,y_0)$ are both on the parabola with $p\neq q$, the
axis of symmetry is $x=\dfrac{p+q}{2}$.
Find the vertex of $\;y=(x+1)(x-7)$.
The $x$-intercepts are $x=-1$ and $x=7$, so the axis of symmetry is $x=\dfrac{-1+7}{2}=3$.
At $x=3$: $y=(3+1)(3-7)=4\cdot(-4)=-16$. The vertex is $\boxed{(3,-16)}$.
A parabola passes through the points $(2,5)$ and $(8,5)$. What is the equation of its axis of symmetry?
Both points have the same $y$-value, so they are mirror images across the axis. The axis is the vertical line through their midpoint: $x=\dfrac{2+8}{2}=\boxed{x=5}$.
Nothing else about the parabola is needed — not $a$, not the vertex height.
Hai điểm cùng tung độ là món quà: trục đối xứng là trung điểm hoành độ của chúng, tính trong hai giây. Đề hay giấu món quà này dưới dạng bảng giá trị — thấy hai dòng có cùng giá trị $f(x)$ là biết ngay hoành độ đỉnh, không cần dựng lại phương trình.
Moving between forms
Going from factored or vertex form back to standard form is just expansion. Going the other way needs either factoring (for the $x$-intercepts) or completing the square (for the vertex). When the question supplies the intercepts and one extra point, factored form is the shortest road.
A parabola has $x$-intercepts at $x=2$ and $x=6$ and passes through $(0,12)$. Write it in standard form and find its vertex.
Start from factored form: $y=a(x-2)(x-6)$. Substituting $(0,12)$ gives $12=a(-2)(-6)=12a$, so $a=1$.
Expanding: $y=(x-2)(x-6)=x^2-8x+12$.
The axis of symmetry is $x=\dfrac{2+6}{2}=4$, and $y=(4-2)(4-6)=-4$, so the vertex is $\boxed{(4,-4)}$.
Khi đề cho hai giao điểm với trục hoành cộng thêm một điểm nữa, đừng dựng hệ ba phương trình theo $a$, $b$, $c$. Viết thẳng $y=a(x-r)(x-s)$ rồi thay điểm còn lại để tìm $a$ — một ẩn thay vì ba. Trường hợp hay gặp nhất là điểm thứ ba nằm trên trục tung, lúc đó $c=a\cdot r\cdot s$ và mọi thứ xong trong một dòng.
Stacking transformations
Read the vertex form as a set of instructions applied to $y=x^2$. When several instructions are stacked, apply them to the vertex one at a time and the algebra takes care of itself.
Starting from $y=x^2$, the graph of $y=a(x-h)^2+k$ is:
- shifted $h$ units right (left if $h<0$) — note the sign flip inside the bracket;
- shifted $k$ units up (down if $k<0$);
- stretched vertically by $|a|$;
- reflected across the $x$-axis if $a<0$.
Reflecting across the $x$-axis sends the point $(x,y)$ to $(x,-y)$.
Let $f(x)=x^2-4x$ and let $g(x)=f(x-2)+3$. Find the vertex of the graph of $g$.
The vertex of $f$ is at $x=-\dfrac{-4}{2}=2$, where $f(2)=4-8=-4$; so $f$ has vertex $(2,-4)$.
The rule $g(x)=f(x-2)+3$ shifts the graph $2$ units right and $3$ units up, so the vertex moves to $(2+2,\,-4+3)=\boxed{(4,-1)}$.
Direct check: $g(x)=(x-2)^2-4(x-2)+3=x^2-8x+15=(x-4)^2-1$, vertex $(4,-1)$.
$f(x-2)$ dịch sang phải $2$ đơn vị, không phải sang trái. Dấu trừ bên trong ngoặc luôn ngược với hướng di chuyển; dấu cộng bên ngoài thì cùng hướng. Cách nhớ chắc nhất là không nhớ gì cả: tìm giá trị $x$ làm biểu thức trong ngoặc bằng hoành độ đỉnh cũ.