Substitution: the only move that starts the problem
A system made of one quadratic and one linear equation is solved by substitution, never by elimination. Solve the linear equation for the variable that is already isolated, put that expression into the quadratic, and collect everything on one side.
$\[\begin{cases} y=ax^2+bx+c\\ y=mx+n \end{cases}\]$ $\;\Longrightarrow\;$ $ax^2+bx+c=mx+n$ $\;\Longrightarrow\;$ $ax^2+(b-m)x+(c-n)=0$.
Every solution $x$ of that quadratic gives one intersection point; its $y$ comes from the linear equation, which is the cheaper of the two to evaluate.
Solve $\;\[\begin{cases} y=x^2-4x+7\\ y=2x+2 \end{cases}\]$
Set the right sides equal: $x^2-4x+7=2x+2$, so $x^2-6x+5=0$ and $(x-1)(x-5)=0$.
Then $x=1$ gives $y=2(1)+2=4$, and $x=5$ gives $y=2(5)+2=12$. Solutions: $\boxed{(1,4)\text{ and }(5,12)}$.
The graphs of $\;y=x^2-2\;$ and $\;y=2x+1\;$ meet at two points. How far apart are they?
$x^2-2=2x+1$ gives $x^2-2x-3=0$, so $(x-3)(x+1)=0$ and $x=3$ or $x=-1$.
From the line, $y(3)=7$ and $y(-1)=-1$. The points are $(3,7)$ and $(-1,-1)$, so $\Delta x=4$, $\Delta y=8$ and the distance is $\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}=\boxed{4\sqrt5}$.
Sau khi thế, bài toán không còn là hệ nữa — nó là một phương trình bậc hai một ẩn. Mọi thứ bạn biết về bậc hai (biệt thức, Vi-ète, hoành độ đỉnh) đều dùng được ngay. Đây là lí do phần này nằm ở nhóm Advanced Math chứ không nằm ở nhóm hệ phương trình bậc nhất.
The discriminant tells you the picture
After substitution you hold $Ax^2+Bx+C=0$ with $A\neq0$. The number of intersection points is decided by $D=B^2-4AC$ and nothing else.
- $D>0$: the line cuts the parabola at two points.
- $D=0$: the line is tangent — exactly one point, a double root at $x=-\dfrac{B}{2A}$.
- $D<0$: the graphs never meet; the system has no real solution.
For which values of $k$ does $\;\[\begin{cases} y=x^2+9\\ y=kx \end{cases}\]$ have no real solution?
Substituting gives $x^2+9=kx$, i.e.\ $x^2-kx+9=0$. Then $D=k^2-36$, and $D<0$ means $k^2<36$, so $\boxed{-6<k<6}$.
At $k=\pm6$ the line is tangent, so those two values must be excluded from the answer.
Viết $D<0$ rồi giải $k^2<36$ ra thành $k<6$. Bất phương trình $k^2<36$ tương đương $|k|<6$, tức là $-6<k<6$ — nửa âm cũng bị chặn. Nhầm chỗ này là mất câu, vì phương án một đầu kiểu $k<6$ luôn được cài sẵn.
Tangency and the parameter questions
“Tangent”, “exactly one solution”, “touches at exactly one point”, “the system has a unique real solution” — all four phrasings mean the same thing: $D=0$.
For what value of $c$ is the line $\;y=8x+c\;$ tangent to $\;y=x^2+2x+5$?
Substituting, $x^2+2x+5=8x+c$, so $x^2-6x+(5-c)=0$.
Tangency needs $D=0$: $\;(-6)^2-4(5-c)=0$, so $36-20+4c=0$ and $4c=-16$, giving $\boxed{c=-4}$.
Check: $x^2-6x+9=0$ is $(x-3)^2=0$, a genuine double root at $x=3$.
For what values of $m$ is the line $\;y=mx-4\;$ tangent to the parabola $\;y=x^2$?
$x^2=mx-4$ gives $x^2-mx+4=0$, so $D=m^2-16=0$ and $m=\pm4$.
Both work: $m=4$ touches at $x=2$, $m=-4$ touches at $x=-2$. The answer is $\boxed{m=4 \text{ and } m=-4}$ — two tangent lines, not one.
Hai ví dụ trên khác nhau ở chỗ tham số nằm đâu. Tham số ở hằng số (chữ $c$) thì $D=0$ cho một phương trình bậc nhất theo $c$: một đáp án. Tham số ở hệ số góc (chữ $m$) thì $D=0$ cho một phương trình bậc hai theo $m$: thường hai đáp án. Thấy tham số bình phương lên mà chỉ ghi một nghiệm là mất điểm.
In the system $\;y=x^2-4x+13\;$ and $\;y=mx+9$, the graphs meet at exactly one point. What is the sum of all possible values of $m$?
$x^2-4x+13=mx+9$ becomes $x^2-(4+m)x+4=0$.
$D=(4+m)^2-16=0$ gives $4+m=\pm4$, so $m=0$ or $m=-8$; the sum is $\boxed{-8}$.
The value $m=0$ is the horizontal line $y=9$ through the vertex $(2,9)$ — easy to miss because it does not look like a “slanted” tangent.
Answering the quantity the question asks for
Once $Ax^2+Bx+C=0$ is in front of you, Vieta gives the two most-asked quantities without solving anything: $x_1+x_2=-\dfrac{B}{A}$ and $x_1x_2=\dfrac{C}{A}$.
If the line is $y=mx+n$, then $y_1+y_2=m(x_1+x_2)+2n$. So a question about the sum of the $y$-coordinates still only needs $-B/A$.
The graphs of $\;y=2x^2-3x+1\;$ and $\;y=x+6\;$ meet at two points. What is the sum of the $y$-coordinates of those points?
$2x^2-3x+1=x+6$ gives $2x^2-4x-5=0$, so $x_1+x_2=\dfrac{4}{2}=2$ (and $D=16+40>0$, so two real points really exist).
Then $y_1+y_2=(x_1+6)+(x_2+6)=2+12=\boxed{14}$.
Tính đúng $x_1+x_2=2$ rồi khoanh $2$. Đề hỏi tổng tung độ, không phải tổng hoành độ. Phương án $2$ chắc chắn có trong bốn lựa chọn. Đọc lại câu hỏi sau khi ra số là thói quen ăn điểm rẻ nhất ở chủ đề này.
Circles, and two parabolas
The same substitution works when the nonlinear equation is a circle or a second parabola; only the algebra after substitution changes.
Solve $\;\[\begin{cases} x^2+y^2=25\\ y=x+1 \end{cases}\]$ and find the distance between the two solution points.
Substitute: $x^2+(x+1)^2=25$, so $2x^2+2x+1=25$ and $2x^2+2x-24=0$, i.e.\ $x^2+x-12=0$.
$(x+4)(x-3)=0$ gives $x=-4$ and $x=3$, so the points are $(-4,-3)$ and $(3,4)$.
Distance $=\sqrt{7^2+7^2}=\boxed{7\sqrt2}$.
How many points do $\;y=x^2-3x+2\;$ and $\;y=-x^2+5x-6\;$ have in common?
Setting them equal: $x^2-3x+2=-x^2+5x-6$, so $2x^2-8x+8=0$ and $x^2-4x+4=0$.
That is $(x-2)^2=0$: a double root. The two parabolas touch at exactly $\boxed{\text{one point},\ (2,0)}$.
Hai parabol cũng có “tiếp xúc”. Khi trừ hai vế, hệ số $x^2$ là $a_1-a_2$ — nếu hai parabol có cùng hệ số $x^2$ thì hiệu là bậc nhất, và khi đó chúng cắt nhau đúng một điểm hoặc song song hoàn toàn. Đừng máy móc áp $D$ trước khi kiểm tra hệ số $x^2$ còn khác $0$ hay không.