Two points, three lines of work
- $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ — subtract in the same order on top and bottom.
- Point-slope: $y-y_1=m(x-x_1)$, using either given point.
- Expand to $y=mx+b$ only if the question or the answer choices demand it.
Find the equation of the line through $(-3,7)$ and $(5,-9)$.
$m=\dfrac{-9-7}{5-(-3)}=\dfrac{-16}{8}=-2$. Point-slope with $(-3,7)$: $y-7=-2(x+3)$, so $y=-2x-6+7$ and $\boxed{y=-2x+1}$. Check the other point: $-2(5)+1=-9$.
Trừ ngược thứ tự ở một trong hai dòng: $\dfrac{y_2-y_1}{x_1-x_2}$ cho hệ số góc đúng độ lớn nhưng sai dấu. Cách chặn: viết hai điểm thành một cột rồi trừ từ trên xuống ở cả tử lẫn mẫu, không nhảy qua nhảy lại.
Sau khi ra phương trình, luôn thay điểm còn lại (điểm chưa dùng ở bước point-slope) vào để kiểm tra. Việc này tốn năm giây và bắt gần như mọi lỗi dấu. Nếu chỉ kiểm tra bằng chính điểm vừa dùng thì phương trình sai vẫn “đúng”.
Tables: prove it is linear, then extend
The table shows values of a linear function $f$.
| $x$ | $0$ | $4$ | $10$ |
|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-5$ | $1$ | $10$ |
Rates: $\dfrac{1-(-5)}{4-0}=\dfrac{6}{4}=1.5$ and $\dfrac{10-1}{10-4}=\dfrac{9}{6}=1.5$. Same rate, so $f(x)=-5+1.5x$. Then $f(14)=-5+21=\boxed{16}$.
When the table already contains $x=0$, the corresponding output is $b$ — no substitution needed. Look for that row before doing anything else.
The function $f$ is linear. Given $f(2)=17$ and $f(5)=8$, what is $f(11)$?
$m=\dfrac{8-17}{5-2}=-3$. From $x=5$ to $x=11$ is $6$ units, so the output changes by $6(-3)=-18$: $f(11)=8-18=\boxed{-10}$.
Reading a line off a graph
Never estimate. Find two points where the line crosses grid corners and use those.
Write the equation of the line graphed above.
Two clean lattice points: $(-4,-1)$ and $(4,5)$. Then $m=\dfrac{5-(-1)}{4-(-4)}=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$, and the line crosses the $y$-axis at $y=2$, so $\boxed{y=\tfrac34x+2}$. Check: $\tfrac34(-4)+2=-1$.
Trên đề thật, giao điểm với trục tung thường không rơi vào ô lưới đẹp. Đừng đoán $b$ bằng mắt — lấy hai điểm nằm đúng góc lưới, tính $m$ trước, rồi suy ngược ra $b$ bằng phép thay số. Đoán $b$ là nguồn sai số duy nhất mà máy chấm không tha.
Parallel and perpendicular
Parallel lines have equal slopes: $m_2=m_1$.
Perpendicular lines have slopes whose product is $-1$: $m_2=-\dfrac{1}{m_1}$.
A horizontal line ($m=0$) is perpendicular to a vertical line (slope undefined) — the product
rule does not apply to that pair.
Find the line through $(2,-5)$ that is parallel to $3x-4y=12$.
Slope of the given line: $-A/B=-3/(-4)=\tfrac34$. Point-slope: $y+5=\tfrac34(x-2)$, so $y=\tfrac34x-\tfrac32-5=\boxed{\tfrac34x-\tfrac{13}{2}}$. In standard form this is $3x-4y=26$; note the left side is unchanged and only the constant moves.
Find the line through $(6,1)$ that is perpendicular to $y=-3x+2$.
The perpendicular slope is $-\dfrac{1}{-3}=\tfrac13$. Then $y-1=\tfrac13(x-6)$, so $y=\tfrac13x-2+1=\boxed{\tfrac13x-1}$.
Shortcut for parallels in standard form: keep $Ax+By$ exactly as it is and recompute the constant from the given point. For $3x-4y=c$ through $(2,-5)$: $3(2)-4(-5)=26$, so $c=26$.
Nghịch đảo mà quên đổi dấu. Vuông góc với hệ số góc $-3$ là $+\tfrac13$, không phải $-\tfrac13$. Và vuông góc với $\tfrac25$ là $-\tfrac52$, không phải $\tfrac52$. Cả hai bản thiếu dấu đều nằm sẵn trong bốn phương án.
Unknown coefficients, and the edge cases
The line $kx+3y=12$ passes through $(2,6)$. What is the value of $k$?
Substitute: $2k+18=12$, so $2k=-6$ and $\boxed{k=-3}$.
For what value of $c$ does the graph of $\;cx+2y=8\;$ have no $x$-intercept?
An $x$-intercept exists whenever the line is not horizontal. If $c=0$ the equation becomes $2y=8$, i.e.\ $y=4$ — a horizontal line that never meets the $x$-axis. For every $c\neq 0$ the $x$-intercept is $8/c$, which exists. Answer: $\boxed{c=0}$.
$Ax+By=C$ and $A'x+B'y=C'$ describe the same line exactly when one equation is a nonzero multiple of the other. They are parallel and distinct when $A'/A=B'/B$ but $C'/C$ differs.
For what value of $k$ do $\;6x-4y=10\;$ and $\;3x-2y=k\;$ describe the same line?
Dividing the first equation by $2$ gives $3x-2y=5$. The two agree exactly when $\boxed{k=5}$; for any other $k$ the lines are parallel and never meet.
Hai câu hỏi rất dễ lẫn: “hệ có vô số nghiệm” (trùng đường) và “hệ vô nghiệm” (song song, khác hằng số). Cả hai đều bắt đầu bằng việc so tỉ lệ hai hệ số $x$ và $y$; chỉ khác nhau ở bước cuối là so hằng số. Đọc kỹ đề hỏi cái nào.
Horizontal and vertical lines
A horizontal line has equation $y=k$: slope $0$, one $y$-intercept, and no
$x$-intercept unless $k=0$.
A vertical line has equation $x=h$: slope undefined, one $x$-intercept, and no
$y$-intercept unless $h=0$. A vertical line is not the graph of a function.
Write the equation of the line through $(4,-2)$ and $(4,7)$.
The slope formula gives $\dfrac{7-(-2)}{4-4}=\dfrac{9}{0}$, which is undefined — the two points share an $x$-coordinate, so the line is vertical: $\boxed{x=4}$. Writing $y=4$ instead describes a completely different line, one through neither point.
Line $\ell$ passes through $(-3,5)$ and is perpendicular to the line $y=5$. What is the equation of $\ell$?
The line $y=5$ is horizontal, so anything perpendicular to it is vertical. The vertical line through $(-3,5)$ is $\boxed{x=-3}$. The product-of-slopes rule cannot be used here because a vertical line has no slope to multiply.
Nhớ theo cách này: chữ cái trong phương trình cho biết đại lượng nào bị giữ cố định. $x=4$ nghĩa là hoành độ luôn bằng $4$ — đường dựng đứng. $y=5$ nghĩa là tung độ luôn bằng $5$ — đường nằm ngang. Học sinh đảo hai cái này rất thường xuyên, và đề luôn để sẵn cả hai trong phương án.