The name, the input, the output
The symbol $f(x)$ is not a product. $f$ is the name of a rule, $x$ is the input fed into that rule, and $f(x)$ is the output the rule returns. Substituting means replacing every letter $x$ in the formula by whatever sits inside the brackets — a number, another letter, or a whole expression.
If $f(x)=3x^2-5x+2$ then $f(\square)=3\square^2-5\square+2$ for whatever object $\square$ happens to be. Wrapping the input in brackets before squaring is what protects the sign: $f(-2)=3(-2)^2-5(-2)+2$, never $3-2^2-5-2+2$.
$f(x)$ đọc là “$f$ tại $x$”, không phải “$f$ nhân $x$”. Hệ quả cần nhớ: chữ $x$ chỉ là chỗ trống. Đề hoàn toàn có thể viết $f(t)$, $f(2a)$, $f(x+h)$ — vẫn là một hàm đó. Ngược lại, $f(x+2)$ và $f(x)+2$ là hai thứ khác hẳn nhau: cái đầu đổi đầu vào, cái sau đổi đầu ra.
If $f(x)=3x^2-5x+2$, find $f(-2)$.
$f(-2)=3(-2)^2-5(-2)+2=3(4)+10+2=\boxed{24}$.
The two places students lose this: reading $(-2)^2$ as $-4$ (giving $0$), and copying $-5x$ as $-5(2)$ (giving $4$, which is $f(2)$).
If $f(x)=x^2-4x$, find every value of $x$ with $f(x)=5$.
The question runs backwards: the output is given, the input is unknown. $x^2-4x=5 \Rightarrow x^2-4x-5=0 \Rightarrow (x-5)(x+1)=0$, so $\boxed{x=5 \text{ or } x=-1}$. Answering “$5$” alone throws away half the question.
Reading a function from a table
A table is just a list of input–output pairs. Reading down a column answers “what is $f(3)$”; scanning along the output row answers “for what $x$ is $f(x)=1$”.
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $5$ | $1$ | $-1$ | $-1$ | $1$ | $5$ |
| $g(x)$ | $3$ | $0$ | $1$ | $-2$ | $2$ | $-1$ |
An input has exactly one output, but an output may come from several inputs. In the table above $f(x)=1$ at $x=-1$ and at $x=2$; a question asking for “the value of $x$” with that table has two answers, and a student-produced-response question will accept either.
Using the table, find $f(g(-1))$ and $g(f(-1))$.
Inner first. $g(-1)=0$, then $f(0)=-1$, so $f(g(-1))=\boxed{-1}$.
Now the other order: $f(-1)=1$, then $g(1)=-2$, so $g(f(-1))=\boxed{-2}$. Same table, same input, different answers.
Bước hai đọc nhầm hàng. Tính $f(g(-1))$: sau khi có $g(-1)=0$, phải nhảy sang hàng $f$ tại cột $x=0$ (ra $-1$), chứ không đọc tiếp hàng $g$ tại cột $x=0$ (ra $1$). Cứ viết ra giấy “$g(-1)=0$” rồi mới đi tìm $f(0)$, đừng nhẩm một mạch.
Reading a function from a graph
On the graph of $y=f(x)$, the input is measured horizontally and the output vertically. “Find $f(3)$” means: stand at $x=3$, go up or down to the curve, read the height. “Solve $f(x)=3$” means the reverse: draw the horizontal line $y=3$ and read off every $x$ where it meets the curve — there may be more than one.
Đồ thị đầy đủ của $f$ gồm đúng hai đoạn thẳng, từ $(-4,6)$ qua $(0,-2)$ đến $(5,3)$.
From the graph above, find $f(-2)$, and then solve $f(x)=0$.
The left branch runs from $(-4,6)$ to $(0,-2)$: slope $\dfrac{-2-6}{0-(-4)}=-2$, so on that branch $y=-2x-2$. At $x=-2$: $f(-2)=4-2=\boxed{2}$.
For $f(x)=0$, check both branches. Left branch: $-2x-2=0 \Rightarrow x=-1$, and $-1$ does lie in $[-4,0]$. Right branch runs from $(0,-2)$ to $(5,3)$, slope $1$, so $y=x-2$; then $x-2=0 \Rightarrow x=2$, which lies in $[0,5]$. Two solutions: $\boxed{x=-1 \text{ and } x=2}$.
Câu đồ thị của SAT gần như luôn là một trong hai câu hỏi trên, chỉ khác cách gói: “$f(3)$ bằng bao nhiêu” (cho hoành độ, hỏi tung độ) hay “$f(x)=3$ có mấy nghiệm” (cho tung độ, đếm giao điểm). Nhầm hai câu này với nhau là mất điểm nhanh nhất ở nhóm câu đồ thị. Mẹo: gạch chân chữ số trong đề rồi tự hỏi “số này nằm trên trục nào”.
Composition: the inner function goes first
$f(g(x))$ means: put $x$ into $g$, take whatever comes out, put that into $f$. Algebraically, write $f$'s formula and replace every $x$ by the whole expression $g(x)$, keeping brackets.
- Inside out. In $f(g(x))$, evaluate $g$ first. In $g(f(x))$, evaluate $f$ first.
- Order is not free. $f(g(x))=g(f(x))$ is false for most pairs of functions; when a question forces the two to be equal, that equality is the whole question.
$f(x)=x^2-2$ and $g(x)=x+4$. Find $f(g(x))$ and $g(f(x))$.
$f(g(x))=(x+4)^2-2=x^2+8x+16-2=\boxed{x^2+8x+14}$.
$g(f(x))=(x^2-2)+4=\boxed{x^2+2}$.
Expanding $(x+4)^2$ as $x^2+16$ is the classic slip; it produces $x^2+14$, an answer choice that will certainly be offered.
$(x+4)^2 \neq x^2+16$. Bình phương một nhị thức luôn sinh ra số hạng giữa: $(x+4)^2=x^2+8x+16$. Trong câu hợp hàm, lỗi này không bị lộ ngay vì kết quả vẫn “trông giống đa thức”, và phương án sai tương ứng luôn có mặt trong bốn lựa chọn.
Composition with a parameter
The hard version gives a composed value and asks for the constant hidden inside. Do the composition symbolically first, then set it equal to the number.
$f(x)=2x-5$ and $g(x)=x^2+k$, where $k$ is a constant. If $f(g(1))=7$, what is $k$?
$g(1)=1+k$. Then $f(g(1))=2(1+k)-5=2k-3$. Setting $2k-3=7$ gives $2k=10$ and $\boxed{k=5}$.
$f(x)=3x-2$ and $f(g(x))=6x+4$ for all $x$. Find $g(x)$.
$f(g(x))=3\,g(x)-2$. So $3g(x)-2=6x+4$, giving $3g(x)=6x+6$ and $\boxed{g(x)=2x+2}$.
Dividing only the first term — writing $g(x)=2x+6$ — is the error the distractors are built from.
Dạng “for all $x$” là dạng đồng nhất thức: hai vế phải khớp từng hệ số, không phải khớp tại một điểm. Vì thế được phép so hệ số của $x$ với nhau và hằng số với nhau, ra hệ hai phương trình. Đây chính là cầu nối sang câu “which must be true” ở cuối bài.
When the input itself is an expression
A question may define $f$ only through a composed statement, such as $f(2x+1)=6x+5$, and then ask for $f(x)$. Substitute a new letter for the inner expression and solve backwards.
$f(3x-2)=12x+1$ for all $x$. Find $f(x)$.
Let $u=3x-2$. Then $x=\dfrac{u+2}{3}$, so \[ f(u)=12\cdot\frac{u+2}{3}+1=4(u+2)+1=4u+9 . \] Renaming the letter, $\boxed{f(x)=4x+9}$. Check: $f(3x-2)=4(3x-2)+9=12x-8+9=12x+1$.
Trả lời thẳng $f(x)=12x+1$ vì thấy vế phải. Đó là giá trị của $f$ tại $3x-2$, không phải tại $x$. Luôn thử lại: thay biểu thức trong ngoặc vào công thức vừa tìm, phải ra đúng vế phải của đề.