Multiplying: every term against every term
Expansion is the distributive law applied repeatedly. The only real skill is bookkeeping: pair each term of the first factor with each term of the second, then collect like powers.
Expand $\;(2x-3)(x^{2}+4x-5)$.
$2x$ against everything: $2x^{3}+8x^{2}-10x$.
$-3$ against everything: $-3x^{2}-12x+15$.
Collect: $2x^{3}+(8-3)x^{2}+(-10-12)x+15=\boxed{2x^{3}+5x^{2}-22x+15}$.
Đề hiếm khi bắt khai triển hết. Câu thường gặp là “hệ số của $x^{2}$ bằng bao nhiêu”. Khi đó đừng nhân cả biểu thức — chỉ đi tìm những cặp nhân ra đúng $x^{2}$. Ở ví dụ trên chỉ có hai cặp: $2x\cdot 4x$ và $(-3)\cdot x^{2}$. Ba mươi giây thành năm giây.
In $\;(3x-2)(x^{2}+kx-4)$, the coefficient of $x^{2}$ is $7$. Find $k$.
Only two products give $x^{2}$: $\;3x\cdot kx=3k\,x^{2}\;$ and $\;(-2)\cdot x^{2}=-2x^{2}$.
So the coefficient is $3k-2$. Setting $3k-2=7$ gives $\boxed{k=3}$.
Products worth knowing by sight
\[\begin{align*} (a+b)^{2}&=a^{2}+2ab+b^{2} & (a-b)^{2}&=a^{2}-2ab+b^{2}\\ (a-b)(a+b)&=a^{2}-b^{2} & a^{3}-b^{3}&=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\\ a^{3}+b^{3}&=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}) & & \end{align*}\]
Hai lỗi ăn điểm nhiều nhất: viết $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ (mất số hạng chéo $2ab$), và cố phân tích $a^{2}+b^{2}$ — tổng hai bình phương không phân tích được trên tập số thực. Chỉ có hiệu hai bình phương mới tách được.
Factoring: four moves, in this order
1. Pull out the greatest common factor. Always first. 2. Two terms? Try difference of squares, or sum/difference of cubes. 3. Three terms? Trinomial method. 4. Four terms? Group in pairs.
Factor $\;6x^{2}-19x+10$ completely.
Multiply outer coefficients: $6\cdot 10=60$. Find two numbers with product $60$ and sum $-19$: they are $-15$ and $-4$.
Split the middle term and group: \[ 6x^{2}-15x-4x+10=3x(2x-5)-2(2x-5)=\boxed{(3x-2)(2x-5)} . \] Check the middle term: $3x\cdot(-5)+(-2)\cdot 2x=-15x-4x=-19x$. OK
Factor $\;x^{3}+3x^{2}-4x-12$ completely.
Four terms, so group: $\;x^{2}(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x^{2}-4)$.
The second bracket is still factorable: $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$.
Answer: $\boxed{(x+3)(x-2)(x+2)}$.
“Completely” là chữ then chốt. $(x+3)(x^{2}-4)$ đúng nhưng chưa xong, và nó luôn nằm sẵn trong bốn phương án. Sau mỗi lần tách, nhìn lại từng ngoặc xem còn tách được nữa không.
Disguised quadratics and cubes
Factor $\;x^{4}-13x^{2}+36$ completely.
Treat $u=x^{2}$: $\;u^{2}-13u+36=(u-4)(u-9)$.
Substitute back: $(x^{2}-4)(x^{2}-9)$, and both are differences of squares: \[ \boxed{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)} . \]
Factor $\;8x^{3}-27$.
Both terms are perfect cubes: $8x^{3}=(2x)^{3}$ and $27=3^{3}$. With $a=2x$, $b=3$, \[ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=\boxed{(2x-3)(4x^{2}+6x+9)} . \] Note the middle sign of the long bracket is $+$ even though the short bracket has $-$, and the long bracket does not factor further.
Mẹo nhớ dấu của hằng đẳng thức bậc ba: ngoặc ngắn giữ nguyên dấu của đề, ngoặc dài có dấu ngược lại ở giữa và dấu $+$ ở cuối. Với $8x^{3}+27$ thì ra $(2x+3)(4x^{2}-6x+9)$. Đề rất hay hỏi đúng một hệ số của ngoặc dài, nên biết cả cụm là đủ ăn điểm.
Zeros, multiplicity and sign
If $p(x)=(x-r_{1})^{m_{1}}(x-r_{2})^{m_{2}}\cdots$, the zeros are the $r_{i}$ and the exponent $m_{i}$ is the multiplicity of $r_{i}$.
Crossing a zero of odd multiplicity flips the sign of $p(x)$. Crossing a zero of even multiplicity does not: the graph touches the axis and turns back. So a double root is a zero of $p$ but never a place where $p$ changes sign.
For $\;p(x)=(x-1)^{2}(x+3)(x-5)$, find every $x$ with $p(x)<0$.
Zeros: $-3$, $1$ (double), $5$. Test one point in each interval, or read the factors:
$x>5$: all three signs positive $\Rightarrow p>0$.
$1<x<5$: $(x-1)^{2}>0$, $(x+3)>0$, $(x-5)<0 \Rightarrow p<0$.
$-3<x<1$: same signs as above, because the squared factor cannot flip $\Rightarrow p<0$.
$x<-3$: $(x+3)<0$ and $(x-5)<0$, product positive $\Rightarrow p>0$.
So $p(x)<0$ exactly on $\boxed{-3<x<5,\; x\neq 1}$ — the point $x=1$ is excluded because there $p(1)=0$, which is not less than zero.
Câu hỏi bất phương trình đa thức luôn có hai bẫy song song: (1) tưởng dấu đổi ở nghiệm kép — không đổi; (2) quên loại chính điểm nghiệm khi đề dùng dấu $<$ ngặt. Phương án “$-3<x<5$” trông rất đúng và luôn nằm trong danh sách.
Matching coefficients
When two polynomials are equal for all $x$, the coefficient of each power must match. That single sentence answers most parameter questions in this unit.
For what values of $k$ is $\;9x^{2}+kx+25\;$ the square of a binomial?
A square looks like $(3x+c)^{2}=9x^{2}+6cx+c^{2}$. Matching constants: $c^{2}=25$, so $c=\pm 5$; matching middle terms: $k=6c=\pm\boxed{30}$.
Equivalent route: a quadratic is a perfect square exactly when its discriminant is zero, so $k^{2}-4(9)(25)=0$, giving $k^{2}=900$ and $k=\pm 30$.