Domain first, algebra second
A rational expression is a quotient of polynomials $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$. It is undefined at every $x$ with $Q(x)=0$, and that list is decided by the original denominator — not by whatever is left after cancelling.
$\dfrac{x^{2}-9}{x^{2}+x-12}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x+4)(x-3)}=\dfrac{x+3}{x+4}$, but only for $x\neq 3$ and $x\neq -4$. The restriction $x\neq 3$ survives even though the factor that caused it is gone.
Hai loại “chỗ hỏng” phải phân biệt. Thừa số triệt tiêu hết ($x-3$ ở trên) cho một lỗ thủng: đồ thị mất đúng một điểm. Thừa số còn lại dưới mẫu ($x+4$) cho một tiệm cận đứng: đồ thị vọt lên vô cực. Đề hay hỏi “toạ độ $y$ của lỗ thủng” — rút gọn xong rồi thay số vào biểu thức đã rút.
Simplify $\;\dfrac{2x^{2}-8}{x^{2}-4x+4}\;$ and state the restrictions.
Factor everything: $\;\dfrac{2(x-2)(x+2)}{(x-2)^{2}}$.
Restriction: $x\neq 2$. Cancelling one $(x-2)$ leaves $\boxed{\dfrac{2(x+2)}{x-2}}$, still with $x\neq 2$. Here $x=2$ is a vertical asymptote, not a hole, because one factor of $(x-2)$ remains underneath.
Chỉ được rút gọn thừa số, không được rút gọn số hạng. Trong $\dfrac{x+4}{x}$ không có gì để rút — gạch chữ $x$ đi để còn $4$ là sai. Muốn rút phải thấy dấu nhân, không phải dấu cộng.
Multiplying and dividing
Multiply straight across after factoring; divide by flipping the second fraction and multiplying. Never expand before cancelling — factored form is what lets you cancel.
Simplify $\;\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+5x+6}\cdot\dfrac{x+3}{x-1}$.
Factor: $\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+3)}\cdot\dfrac{x+3}{x-1}$.
Cancel $(x-1)$ and $(x+3)$: the result is $\boxed{\dfrac{x+1}{x+2}}$, with $x\neq 1$, $x\neq -2$, $x\neq -3$.
Simplify $\;\dfrac{x^{2}-9}{x+3}\div\dfrac{x-3}{x+7}$.
The first fraction reduces: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$.
Dividing means multiplying by the reciprocal of the second fraction: \[ (x-3)\cdot\frac{x+7}{x-3}=\boxed{x+7}\qquad (x\neq 3,\;x\neq -3,\;x\neq -7). \]
Adding and subtracting
Factor every denominator, build the least common denominator, rewrite each fraction with that denominator by multiplying numerator and denominator by the missing factors, then combine numerators over the single denominator.
Write $\;\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{5}{x+1}\;$ as a single fraction.
LCD is $(x-2)(x+1)$: \[ \frac{3(x+1)+5(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{3x+3+5x-10}{(x-2)(x+1)}=\boxed{\frac{8x-7}{(x-2)(x+1)}} . \]
Đổi mẫu mà quên nhân tử số là lỗi số một của phần này: viết $\dfrac{5}{x+2}-\dfrac{3}{x}=\dfrac{5-3}{x(x+2)}$. Mẫu chung đúng nhưng tử phải là $5x-3(x+2)$. Và dấu trừ phải phân phối vào cả ngoặc.
Complex fractions
A fraction whose numerator or denominator contains fractions is cleared in one move: combine the small fractions first, then divide.
Simplify $\;\dfrac{\;\dfrac1x-\dfrac13\;}{x-3}\;$ for $x\neq 0$, $x\neq 3$.
Top first: $\dfrac1x-\dfrac13=\dfrac{3-x}{3x}$.
Now divide: $\dfrac{3-x}{3x}\cdot\dfrac{1}{x-3}$. Since $3-x=-(x-3)$, \[ \frac{-(x-3)}{3x(x-3)}=\boxed{-\frac{1}{3x}} . \]
$3-x$ và $x-3$ chỉ khác nhau một dấu trừ: $3-x=-(x-3)$. Đây là mẹo rút gọn xuất hiện đều đặn ở những câu cuối module — rút được rồi thì cả biểu thức cồng kềnh sập xuống còn một phân số bé xíu, và đúng cái dấu trừ đó là chỗ đề gài phương án nhiễu.
Improper form and rational equations
Any $\dfrac{\text{degree }n}{\text{degree }m}$ with $n\geq m$ can be written as $\text{quotient}+\dfrac{\text{remainder}}{\text{divisor}}$. On the test this is almost always done by rewriting the numerator, not by long division.
Write $\;\dfrac{2x+7}{x+3}\;$ in the form $a+\dfrac{b}{x+3}$.
Force the numerator to contain $2(x+3)$: $\;2x+7=2(x+3)+1$. Therefore \[ \frac{2x+7}{x+3}=\frac{2(x+3)+1}{x+3}=\boxed{2+\frac{1}{x+3}} . \]
Simplify $\;\dfrac{2x^{2}+7x-4}{2x-1}$.
Factor the numerator: $2x^{2}+7x-4=(2x-1)(x+4)$, since $2x\cdot x=2x^{2}$ and the middle term is $8x-x=7x$. Cancelling gives $\boxed{x+4}$ for $x\neq\tfrac12$.
Solve $\;\dfrac{1}{x-3}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{6}{x^{2}-9}$.
Restrictions: $x\neq 3$ and $x\neq -3$. Since $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$, multiplying every term by $(x-3)(x+3)$ gives \[ (x+3)+(x-3)=6 \;\Longrightarrow\; 2x=6 \;\Longrightarrow\; x=3 . \] But $x=3$ is excluded, so it must be discarded: the equation has $\boxed{\text{no solution}}$.
Quy trình cố định cho phương trình phân thức: (1) phân tích mọi mẫu; (2) ghi danh sách giá trị bị loại ra lề; (3) nhân hai vế cho mẫu chung; (4) giải; (5) đối chiếu với danh sách ở bước hai. Bỏ bước hai thì bước năm không làm được, và “no solution” luôn là một trong bốn phương án.