What the tool is
The built-in calculator is a graphing engine, not an algebra engine. It draws the set of points satisfying whatever you type and reports coordinates of points you click. It never rearranges a formula, never produces an exact radical, and never knows which quantity the question asked for.
Typing an expression in $x$ makes Desmos graph $y=$ that expression: typing
2x+5 draws the line $y=2x+5$.
Typing an equation draws the set of points making it true: x^2+y^2=25 draws a
circle; 2x+5=11 draws the vertical line $x=3$.
Phân biệt hai việc trên là gốc của mọi thao tác sau này. Gõ biểu thức $\Rightarrow$ Desmos tự thêm “$y=$”. Gõ phương trình $\Rightarrow$ Desmos vẽ tập nghiệm. Với phương trình chỉ có $x$, tập nghiệm là vài đường thẳng đứng — và hoành độ của chúng chính là nghiệm. Đây là mẹo đáng giá nhất trong toàn bộ phần Toán: không cần biến đổi gì, gõ y hệt đề rồi đọc số.
The vertical-line method
Any equation in one variable, however ugly, can be typed verbatim. Desmos draws a vertical line through each solution.
Solve $\;7(2x-3)=4x+9$.
Type 7(2x-3)=4x+9. One vertical line appears; clicking where it meets the $x$-axis
reads $(3,0)$. Check by hand: $14x-21=4x+9$, so $10x=30$ and $\boxed{x=3}$.
Solve $\;\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+4}{5}=2$.
Typed verbatim, the vertical line sits at $x=6.714$. That is a rounded display, not the
answer. Multiplying by $15$: $5(2x-1)-3(x+4)=30$, so $10x-5-3x-12=30$, giving $7x=47$ and
$\boxed{x=\tfrac{47}{7}}$. Confirm the conversion by typing 47/7 — Desmos returns
$6.714285714$, matching the graph.
Chép thẳng số hiển thị $6.714$ vào ô đáp án. Với câu tự điền, $47/7$ luôn an toàn còn $6.714$ có thể bị chấm sai nếu đề không cho làm tròn. Thấy số lẻ trên màn hình thì việc tiếp theo là tìm phân số tương ứng, không phải chép.
Solve $\;|2x-7|=3x-4$.
By hand there are two branches. Branch one: $2x-7=3x-4$ gives $x=-3$; but then $3x-4=-13<0$, impossible for an absolute value, so it is rejected. Branch two: $-(2x-7)=3x-4$ gives $7-2x=3x-4$, so $11=5x$ and $x=\tfrac{11}{5}=2.2$; here $3x-4=2.6\geq0$, so it stands.
Typed verbatim, Desmos draws one vertical line, at $x=2.2$. The graph never produces an extraneous root, because it only draws points that actually satisfy the equation. $\boxed{x=2.2}$
Đây là lý do nên gõ nguyên văn thay vì tự chuyển vế: mọi nghiệm ngoại lai — do bình phương hai vế, do nhân mẫu chứa ẩn, do tách trị tuyệt đối — đều tự biến mất. Nhưng cũng vì thế phải cẩn thận chiều ngược lại: nếu chỉ có một đường thẳng đứng hiện ra, đừng vội kết luận phương trình có một nghiệm — có thể nghiệm kia nằm ngoài khung nhìn.
Two graphs, an intersection, and the grey points
For $f(x)=g(x)$, graph $y=f(x)$ and $y=g(x)$ on separate lines and click where they cross. Desmos labels the point and shows both coordinates.
The graphs of $y=x^2-4x+3$ and $y=-2x+11$ intersect at two points. What is the sum of the $x$-coordinates of those points?
Clicking both crossings gives $(-2,15)$ and $(4,3)$, so the sum is $\boxed{2}$. By hand: $x^2-4x+3=-2x+11$ gives $x^2-2x-8=0$, i.e.\ $(x-4)(x+2)=0$. The sum of the roots is also readable straight from the coefficients as $-(-2)/1=2$.
The graph of $y=x^2-60x+891$ appears blank in the default window. Find its $x$-intercepts.
The vertex is at $x=30$, where $y=900-1800+891=-9$: the whole interesting part of the curve sits far to the right of the default view. Open the graph settings and set $0\leq x\leq 40$, $-20\leq y\leq 20$. The intercepts read $27$ and $33$. Check: $x^2-60x+891=(x-27)(x-33)$. $\boxed{x=27\ \text{and}\ x=33}$
Kết luận “hai đồ thị không cắt nhau” sau khi nhìn khung mặc định $[-10,10]$. Trước khi trả lời “no solution” hay “one intersection”, luôn kéo rộng khung ra $[-50,50]$ một lần. Câu ra đề kiểu này luôn đặt nghiệm ở chỗ khung mặc định không thấy.
Reading the grey points
Clicking on a curve makes Desmos offer the special points it can identify: zeros, the $y$-intercept, minima and maxima, and intersections with other curves. The label under the point tells you which one you have.
A projectile's height in feet after $t$ seconds is $h(t)=-16t^2+96t+4$. What is its greatest height?
Graph it and click the top of the arc: Desmos marks maximum at $(3,148)$. By hand, the vertex is at $t=-\dfrac{96}{2(-16)}=3$ and $h(3)=-144+288+4=148$. $\boxed{148\text{ feet}}$
Displayed coordinates are rounded. A point reading $(0.6667,\,3.333)$ is $\left(\tfrac23,\tfrac{10}{3}\right)$. Before writing a decimal into an answer field, test the obvious fraction: type it on a new line and compare the digits.
Typing without losing time
Every second spent fixing a mistyped expression is a second not spent on the next question. Five keystroke habits cover almost everything the Math section asks for.
^starts an exponent; the right arrow leaves it. Typingx^2+3without the arrow produces $x^{2+3}$./starts a fraction; the right arrow leaves the denominator. Same trap.sqrtbecomes a radical sign, andabs(becomes $|\ \cdot\ |$.- Braces restrict a graph:
y=2x+300<x<12draws only the part with $0<x<12$. - The coloured circle at the left of a line hides that graph without deleting it — the fastest way to check which curve a grey point belongs to.
A pool is filled at a constant rate. The volume in litres after $t$ minutes is $V(t)=30+45t$, and filling stops after $12$ minutes. For what values of $t$ is $V(t)\geq 400$?
Graph y=30+45x0<x<12 together with y=400. The crossing reads
$t=8.2\overline{2}$, and the graph simply stops at $t=12$. Exactly:
$45t=370$, so $t=\tfrac{74}{9}=8.2\overline{2}$. The answer is
$\boxed{\tfrac{74}{9}\leq t\leq 12}$ — without the restriction the graph suggests the
condition holds forever, which the situation does not allow.
The graphs of $y=0.02x^2$ and $y=x-8$ appear not to meet in the default window. Do they?
Set $0\leq x\leq 60$ and $0\leq y\leq 60$. Two crossings appear. Exactly: $0.02x^2=x-8$ becomes $x^2-50x+400=0$, so $x=\dfrac{50\pm\sqrt{2500-1600}}{2} =\dfrac{50\pm30}{2}$, giving $\boxed{x=10\ \text{and}\ x=40}$. The default window ends at $x=10$, so it shows the first crossing at the very edge and hides the second completely.
Thói quen nên có: mỗi lần một câu có số lớn ($100$, $500$, “sau $20$ năm”, “$1200$ sản phẩm”), việc đầu tiên là mở cài đặt khung và đặt trục theo cỡ của số đó. Mất $8$ giây, cứu được cả câu. Khung mặc định $[-10,10]$ hầu như không bao giờ đúng với bài có ngữ cảnh thực tế.
Inequalities, regions and test points
Typing an inequality shades a region instead of drawing a curve: y>=2x-5 shades
everything on or above the line. Two shaded inequalities overlap in a darker band, and that
band is the solution set of the system.
The fastest use of this is backwards. Typing an ordered pair such as (2,1) plots that
single point, so a question of the form “which point satisfies both conditions” becomes a
matter of looking at which of four dots landed in the dark band.
Which point satisfies both $\;y\geq 2x-5\;$ and $\;y<-x+4$?
- $(4,3)$
- $(1,-4)$
- $(-2,7)$
- $(2,1)$
Shade both inequalities, then type all four pairs. Only $(2,1)$ lands in the overlap. Checking by hand: $1\geq 2(2)-5=-1$ is true and $1<-2+4=2$ is true. For (A), $3\geq3$ holds but $3<0$ fails; for (B), $-4\geq-3$ fails; for (C), $7<6$ fails. Answer (D).
Bấm nhầm điểm xám. Khi hai đồ thị nằm sát nhau, Desmos hiện cả intersection, minimum và zero rất gần nhau; nhãn dưới điểm mới cho biết bạn đang cầm cái gì. Ẩn bớt một đồ thị bằng cách bấm vòng tròn màu bên trái là cách nhanh nhất để chắc chắn.
When not to open the calculator
- Letters other than $x$ and $y$. Typing $k$ prompts for a slider; the graph then shows one value of $k$, not the general fact. Questions asking for a value of a constant are algebra questions.
- “Which must be true for all $x$”. A picture at a hundred points is not a proof, and the answer choices are usually designed to agree on the visible interval.
- Exact irrational answers. A reading of $5.4641$ is $2+2\sqrt3$; the graph cannot tell you that.
- One-step algebra. If $4x-9=23$, then $4x-1=31$ in five seconds. Typing takes twenty.
Quy tắc mười giây: trước khi chạm vào máy, tự hỏi “giải tay mất bao lâu?”. Dưới $30$ giây thì làm tay. Trên $60$ giây, hoặc bài có căn/trị tuyệt đối/bậc ba, hoặc bài hỏi “bao nhiêu nghiệm”, thì mở Desmos. Mở máy cho mọi câu là cách chắc chắn nhất để hết giờ ở câu $18$.