Mục lục bài họcĐang ở d10-b4
Taylor Polynomials, Lagrange Error, and Power Series
Taylor polynomials and the Lagrange remainder
The $n$th-degree Taylor polynomial of $f$ about $x=c$ is
$$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}\left(x-c\right)^{k}$$It is the unique polynomial of degree $\le n$ matching $f$ and its first $n$ derivatives at $c$. With $c=0$ it is called a Maclaurin polynomial.
If $\left|f^{(n+1)}(t)\right|\le M$ for all $t$ between $c$ and $x$, the Lagrange error bound gives
$$\left|f(x)-T_n(x)\right|\le\frac{M}{(n+1)!}\left|x-c\right|^{\,n+1}$$Every ingredient matters: the bound uses the $(n+1)$st derivative, the factorial $(n+1)!$, and the $(n+1)$st power of the distance.
Series to memorise
$$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},\qquad \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$$$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}\ \ (|x|<1),\qquad \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n}\ \ (-1Đa thức Taylor bậc $n$ quanh $x=c$ là đa thức duy nhất bậc không quá $n$ khớp với $f$ và $n$ đạo hàm đầu tiên của $f$ tại $c$. Công thức hệ số là $\dfrac{f^{(k)}(c)}{k!}$ — chia giai thừa, đây là chỗ quên nhiều nhất khi đề cho bảng đạo hàm.
Chặn sai số Lagrange gồm ba thành phần, thiếu cái nào cũng sai: chặn $M$ của đạo hàm cấp $n+1$, giai thừa $(n+1)!$, và $\left|x-c\right|$ luỹ thừa $n+1$. Ý nghĩa: xấp xỉ càng tốt khi $x$ gần $c$ và khi bậc càng cao.
Chuỗi luỹ thừa $\sum c_n(x-c)^{n}$ luôn rơi vào đúng một trong ba trường hợp: chỉ hội tụ tại $x=c$; hội tụ với mọi $x$; hoặc hội tụ trên một khoảng bán kính $R$ quanh $c$. Tìm $R$ bằng dấu hiệu tỉ số, sau đó xét riêng hai đầu mút — dấu hiệu tỉ số cho $L=1$ ở đó nên không nói gì.
Năm chuỗi Maclaurin phải thuộc: $e^{x}$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{1-x}$ và $\ln(1+x)$. Phần lớn câu hỏi chuỗi trên đề AP không đòi tính đạo hàm liên tiếp, mà đòi biến đổi từ năm chuỗi này: thay biến, nhân $x^{k}$, đạo hàm hoặc lấy tích phân từng số hạng.
Tìm bốn số hạng khác $0$ đầu tiên của chuỗi Maclaurin cho $f(x)=x^{2}\cos\left(3x\right)$, rồi suy ra $f^{(4)}(0)$.
Xuất phát từ chuỗi quen $\cos u=1-\dfrac{u^{2}}{2!}+\dfrac{u^{4}}{4!}-\dfrac{u^{6}}{6!}+\cdots$ với $u=3x$:
$$\cos(3x)=1-\frac{9x^{2}}{2}+\frac{81x^{4}}{24}-\frac{729x^{6}}{720}+\cdots$$Nhân $x^{2}$ vào từng số hạng:
$$f(x)=x^{2}-\frac{9x^{4}}{2}+\frac{27x^{6}}{8}-\frac{81x^{8}}{80}+\cdots$$Để có $f^{(4)}(0)$, dùng liên hệ hệ số Maclaurin: hệ số của $x^{4}$ bằng $\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}$.
$$\frac{f^{(4)}(0)}{24}=-\frac92\;\Longrightarrow\;f^{(4)}(0)=-108$$Đạo hàm bốn lần trực tiếp biểu thức $x^{2}\cos(3x)$ cũng ra kết quả này, nhưng mất khoảng mười lần thời gian và có bốn chỗ để sai dấu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 10 — Infinite Sequences and Series gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.