Mục lục bài họcĐang ở d04-b1
Interpreting Rates in Context; Straight-Line Motion
A derivative is a rate, and a rate carries units
If $Q(t)$ measures a quantity at time $t$, then $Q'(t)$ is the instantaneous rate of change of $Q$ with respect to $t$, and its units are units of $Q$ per unit of $t$. Every answer in this unit is expected to carry those units, and the sign of the answer is part of the answer: a negative rate means the quantity is decreasing.
Straight-line motion
Position $s(t)$, velocity $v(t)=s'(t)$, acceleration $a(t)=v'(t)=s''(t)$. Speed is $|v(t)|$, a non-negative quantity that is not the same object as velocity.
- The particle is at rest when $v(t)=0$.
- It changes direction only where $v$ changes sign; a zero of $v$ of even multiplicity is not a change of direction.
- The speed is increasing exactly when $v$ and $a$ have the same sign, and decreasing when their signs are opposite.
The last item is the most-tested and least-intuitive statement of the unit. It is not the statement “speeding up when $a>0$”: a particle travelling backwards ($v<0$) with $a<0$ is speeding up.
Đạo hàm trong chương này luôn được đọc thành một câu tiếng Việt có đơn vị: nếu $Q(t)$ đo một đại lượng theo thời gian thì $Q'(t)$ là tốc độ thay đổi tức thời, đơn vị là “đơn vị của $Q$ chia đơn vị thời gian”. Rubric AP tách riêng một điểm cho đơn vị, và dấu cũng là một phần của đáp án: tốc độ âm nghĩa là đại lượng đang giảm.
Chuyển động thẳng. $s\to v\to a$, mỗi mũi tên là một lần lấy đạo hàm. Tốc độ là $|v|$ — luôn không âm, khác hẳn vận tốc.
- Đứng yên khi $v(t)=0$.
- Đổi chiều chỉ khi $v$ đổi dấu. Nghiệm bội chẵn làm $v$ chạm $0$ rồi giữ nguyên dấu cũ, không đổi chiều.
- Tốc độ tăng đúng khi $v$ và $a$ cùng dấu; trái dấu thì tốc độ giảm.
Ý cuối là ý bị hỏi nhiều nhất và bị hiểu sai nhiều nhất. Nó không phải câu “nhanh dần khi $a>0$”: vật đang lùi ($v<0$) mà $a<0$ thì vẫn đang nhanh dần, vì $|v|$ đang lớn lên.
Một chất điểm chuyển động trên trục $Ox$ với vận tốc $v(t)=\sin\left(t^2\right)$ mét mỗi giây, $0\le t\le3$. Tại $t=2$ vật đang nhanh dần hay chậm dần?
Trước hết đọc dấu của vận tốc. Đối số của $\sin$ là $t^2=4$ radian, mà $4$ radian nằm trong khoảng $\left(\pi,\ \tfrac{3\pi}{2}\right)$ nên $\sin 4\approx-0{,}757<0$: vật đang đi theo chiều âm.
Gia tốc cần quy tắc dây chuyền:
$$a(t)=v'(t)=2t\cos\left(t^2\right)$$Tại $t=2$: $a(2)=4\cos 4\approx4(-0{,}654)=-2{,}615<0$.
Hai đại lượng cùng âm nên tích $v\cdot a>0$, tức tốc độ đang tăng: vật đang nhanh dần dù cả vận tốc lẫn gia tốc đều là số âm.
Điểm dễ hỏng của câu này không nằm ở đạo hàm mà ở chỗ nhớ rằng $t^2$ là số đo radian. Ai bấm máy ở chế độ độ sẽ nhận $\sin 4^{\circ}>0$ và kết luận ngược hoàn toàn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 4 — Contextual Applications of Differentiation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.