Mục lục bài họcĐang ở d06-b1
Riemann Sums, the Definite Integral, and Accumulation
A sum that never stops refining
Chop $[a,b]$ into $n$ subintervals of width $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$, pick a sample point $x_k^{*}$ in each one, and add up the rectangles:
$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f\!\left(x_k^{*}\right)\Delta x$$Left, right and midpoint sums differ only in where $x_k^{*}$ sits; the trapezoidal sum averages the left and right heights. For a function that is increasing, a left sum underestimates and a right sum overestimates; for a function that is concave up, the trapezoidal sum overestimates and the midpoint sum underestimates. These four facts are decided by shape alone, so a question can ask for them with no formula in sight.
Reading a limit backwards
BC asks the reverse direction too: given $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{b-a}{n}\,f\!\left(a+\frac{(b-a)k}{n}\right)$, name the integral. Match $\Delta x$ to the constant factor and $a+\frac{(b-a)k}{n}$ to the variable $x$; the endpoints fall out of that match.
Properties worth memorising
$$\int_a^b f=-\int_b^a f,\qquad \int_a^c f+\int_c^b f=\int_a^b f,\qquad \int_a^a f=0$$The interpretation that carries the whole unit: if $f$ is a rate in units of $Q$ per unit time, then $\int_a^b f(t)\,dt$ is the net change in $Q$ over $[a,b]$ — not the final amount, and not the rate.
Định nghĩa gốc của tích phân xác định là một giới hạn của tổng: cắt $[a,b]$ thành $n$ đoạn rộng $\Delta x=\frac{b-a}{n}$, mỗi đoạn dựng một hình chữ nhật, rồi cho $n\to\infty$. Tổng trái, tổng phải, tổng trung điểm khác nhau đúng một chỗ: lấy chiều cao ở đâu. Tổng hình thang là trung bình cộng của chiều cao hai đầu.
Bốn kết luận về hướng sai số phải thuộc, vì đề hỏi chúng mà không cho công thức nào để tính:
- $f$ tăng: tổng trái thiếu, tổng phải thừa;
- $f$ giảm: ngược lại;
- $f$ lồi lên (concave up): hình thang thừa, trung điểm thiếu;
- $f$ lõm xuống (concave down): hình thang thiếu, trung điểm thừa.
BC còn hỏi chiều ngược: cho một giới hạn tổng, hãy gọi tên tích phân. Cách làm: nhìn thừa số hằng đứng ngoài — đó là $\Delta x$, suy ra $b-a$; nhìn biểu thức chứa $k$ — đó chính là $x$, thay $k=0$ ra cận dưới, $k=n$ ra cận trên.
Ý nghĩa xuyên suốt cả chương: nếu $f$ là một tốc độ thì $\int_a^b f(t)\,dt$ là lượng thay đổi ròng trên $[a,b]$ — không phải lượng cuối cùng, cũng không phải tốc độ. Muốn ra lượng cuối cùng phải cộng thêm lượng ban đầu.
Viết $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\,\ln\!\left(3+\frac{2k}{n}\right)$ dưới dạng một tích phân xác định.
Bước 1 — nhận $\Delta x$. Thừa số hằng đứng ngoài là $\frac2n$, nên $\Delta x=\frac2n$ và $b-a=2$.
Bước 2 — nhận $x$. Biểu thức chứa $k$ là $3+\frac{2k}{n}$, tức $x=3+\frac{2k}{n}$. Với $k=0$ được $x=3$, với $k=n$ được $x=5$.
Bước 3 — ghép lại.
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{n}\ln\!\left(3+\frac{2k}{n}\right)=\int_3^5 \ln x\,dx$$Cách kiểm nhanh: $b-a$ đọc từ cận phải bằng đúng $n\Delta x=2$. Nếu hai con số này lệch nhau thì chắc chắn đã bỏ quên hệ số ở $\Delta x$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Integration and Accumulation of Change gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.