Mục lục bài họcĐang ở d08-b4
Arc Length of a Smooth Curve (BC only)
Pythagoras on an infinitesimal scale
$$L=\int_a^b\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^{2}}\,dx\qquad\text{or}\qquad L=\int_c^d\sqrt{1+\left[g'(y)\right]^{2}}\,dy$$A tiny piece of the curve is nearly straight, with horizontal run $dx$ and vertical rise $dy$. Then $ds=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}$, and factoring $dx$ out of the square root gives the formula.
This is a BC-only topic, and it is the reason the same integral also computes distance travelled by a particle in the plane: for a parametric path, $\displaystyle L=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\tfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\tfrac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt$, which is Unit 9.
Two sanity checks worth applying every time: $L$ must be at least $b-a$, and $L$ must be at least the straight-line distance between the endpoints. Most arc-length integrals are not elementary, so on the exam they are usually either set up only, evaluated on a calculator, or built so that $1+\left[f'\right]^{2}$ is a perfect square.
Ý tưởng gói trong một tam giác vuông vô cùng bé: một mẩu cung nhỏ gần như thẳng, cạnh ngang $dx$, cạnh đứng $dy$, cạnh huyền $ds=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}$. Rút $dx$ ra khỏi căn được
$$L=\int_a^b\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^{2}}\,dx$$Nếu đường cong được cho theo $x=g(y)$ thì đổi vai hai biến, cận lấy theo $y$.
Đây là phần chỉ BC mới có, và nó là gốc của công thức quãng đường trong Unit 9: đường đi tham số có $L=\int\sqrt{\left(x'\right)^{2}+\left(y'\right)^{2}}\,dt$ — vẫn đúng tam giác vuông ấy, chỉ khác là cả hai cạnh cùng phụ thuộc $t$.
Hai phép thử luôn nên làm: độ dài cung không bao giờ nhỏ hơn $b-a$ (đi vòng thì dài hơn đi thẳng theo trục), và cũng không nhỏ hơn khoảng cách hai đầu mút. Một đáp số vi phạm hai điều đó là sai chắc chắn.
Hầu hết tích phân độ dài cung không có nguyên hàm sơ cấp. Vì thế đề AP chỉ hỏi ba kiểu: yêu cầu dựng tích phân, cho phép bấm máy, hoặc cố ý chọn hàm sao cho $1+\left[f'\right]^{2}$ là một bình phương đúng.
Tính chính xác độ dài cung của đường cong $y=\dfrac{x^{3}}{6}+\dfrac{1}{2x}$ trên đoạn $1\le x\le 2$.
Bước 1 — đạo hàm. $y'=\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{1}{2x^{2}}$.
Bước 2 — cộng $1$ và nhận ra bình phương đúng.
$$\left(y'\right)^{2}=\frac{x^{4}}{4}-\frac12+\frac{1}{4x^{4}}\;\Longrightarrow\;1+\left(y'\right)^{2}=\frac{x^{4}}{4}+\frac12+\frac{1}{4x^{4}}=\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2x^{2}}\right)^{2}$$Số hạng $-\frac12$ bị số $1$ đẩy thành $+\frac12$ — đó là toàn bộ mẹo thiết kế của dạng hàm này.
Bước 3 — lấy căn (biểu thức dương trên $[1,2]$) rồi tích phân.
$$L=\int_1^2\left(\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{2x^{2}}\right)dx=\left[\frac{x^{3}}{6}-\frac{1}{2x}\right]_1^2=\left(\frac{4}{3}-\frac14\right)-\left(\frac16-\frac12\right)=\frac{17}{12}$$Phép thử: $\frac{17}{12}\approx1{,}417$, lớn hơn $b-a=1$ ✓. Hai đầu mút là $\left(1,\frac23\right)$ và $\left(2,\frac{19}{12}\right)$, khoảng cách $\approx1{,}37<1{,}417$ ✓.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 8 — Applications of Integration gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.