Mục lục bài họcĐang ở d09-b2
Vector-Valued Functions: Velocity, Speed, Acceleration, and Distance
One object, three different quantities
Write the position of a particle in the plane as $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$. Then
$$\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle,\qquad \mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$$Velocity and acceleration are vectors; speed is the scalar length of the velocity vector:
$$\text{speed}=\left|\mathbf{v}(t)\right|=\sqrt{\left[x'(t)\right]^2+\left[y'(t)\right]^2}$$Distance travelled equals arc length
$$\text{distance}=\int_{a}^{b}\sqrt{\left[x'(t)\right]^2+\left[y'(t)\right]^2}\,dt$$That same integral is the arc length of the parametric curve, so the two ideas are one formula seen from two directions. Displacement is different: it is the vector $\mathbf{r}(b)-\mathbf{r}(a)$, and its length is at most the distance travelled.
To recover position from velocity, integrate componentwise and use the initial condition: $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$, and likewise for $y$.
Finally, speed increases exactly when $\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}>0$; on the AP exam it is safest to differentiate the speed expression directly, or to compare $\left|\mathbf{v}\right|$ at nearby times.
Vị trí của một chất điểm trong mặt phẳng viết thành $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$. Từ đó vận tốc $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),y'(t)\rangle$ và gia tốc $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),y''(t)\rangle$ đều là vectơ, còn tốc độ là một số — chính là độ dài của vectơ vận tốc: $\left|\mathbf{v}\right|=\sqrt{\left(x'\right)^2+\left(y'\right)^2}$.
Quãng đường đi được từ $t=a$ đến $t=b$ là tích phân của tốc độ:
$$s=\int_a^b\sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}\,dt$$Đúng tích phân đó cũng là độ dài cung của đường tham số. Hai khái niệm chỉ là một công thức nhìn từ hai phía: bài động học gọi là quãng đường, bài hình học gọi là độ dài đường cong.
Độ dời thì khác hẳn: đó là vectơ $\mathbf{r}(b)-\mathbf{r}(a)$, chỉ nối điểm đầu với điểm cuối. Độ lớn của độ dời luôn nhỏ hơn hoặc bằng quãng đường, và bằng nhau chỉ khi chất điểm đi thẳng một chiều.
Muốn tìm vị trí từ vận tốc thì tích phân từng thành phần rồi cộng điều kiện ban đầu: $x(b)=x(a)+\int_a^b x'(t)\,dt$, tương tự cho $y$.
Tốc độ đang tăng khi $\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}>0$, tức hai vectơ tạo với nhau góc nhọn. Trong phòng thi, cách an toàn hơn là đạo hàm thẳng biểu thức tốc độ, vì tích vô hướng không nằm trong danh mục AP bắt buộc.
Một chất điểm có $x(t)=t^2$ và $y(t)=\frac{2}{3}t^3$ với $0\le t\le 3$. Tính tốc độ tại $t=1$, quãng đường đi được trên đoạn đã cho, và độ lớn của độ dời.
Tốc độ. $x'=2t$, $y'=2t^2$, nên $\left|\mathbf{v}\right|=\sqrt{4t^2+4t^4}=2t\sqrt{1+t^2}$ (lấy $t\ge 0$). Tại $t=1$ tốc độ bằng $2\sqrt{2}$.
Quãng đường. Tích phân tốc độ, đặt $u=1+t^2$ nên $du=2t\,dt$:
$$s=\int_0^3 2t\sqrt{1+t^2}\,dt=\int_{1}^{10}\sqrt{u}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}\Big|_1^{10}=\frac{2}{3}\left(10\sqrt{10}-1\right)$$Giá trị này xấp xỉ $20{,}415$.
Độ dời. $\mathbf{r}(3)-\mathbf{r}(0)=\langle 9-0,\;18-0\rangle=\langle 9,18\rangle$, độ lớn $\sqrt{81+324}=\sqrt{405}=9\sqrt{5}\approx 20{,}125$.
Hai số rất gần nhau vì quỹ đạo gần thẳng, nhưng quãng đường vẫn lớn hơn — đúng như phải thế.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 9 — Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.