Mục lục bài họcĐang ở d02-b4
Tangent Lines, Normal Lines and Linear Approximation
The tangent line is the linearisation
$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$Two ingredients, always in this order: a point $\big(a,f(a)\big)$ and a slope $f'(a)$. The normal line at the same point has slope $-\dfrac{1}{f'(a)}$, so its equation is $y=f(a)-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)$.
For $x$ near $a$, $L(x)\approx f(x)$. This is how a value such as $\sqrt[3]{8.1}$ is estimated without a calculator: pick the nearest convenient $a$, build $L$, evaluate.
Over or under, decided by concavity
The direction of the error is not a guess. If $f''>0$ on the interval between $a$ and $x$, the graph is concave up, the tangent line lies below it, and $L(x)$ underestimates $f(x)$. If $f''<0$, the graph is concave down, the tangent lies above, and $L(x)$ overestimates. AP questions ask for this judgement together with a stated reason, and the reason must mention concavity or the sign of the second derivative.
Xấp xỉ tuyến tính chính là tiếp tuyến: $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$. Luôn cần đúng hai nguyên liệu, theo thứ tự đó: một điểm $\big(a,f(a)\big)$ và một hệ số góc $f'(a)$.
Pháp tuyến tại cùng điểm có hệ số góc $-\frac{1}{f'(a)}$, phương trình $y=f(a)-\frac{1}{f'(a)}(x-a)$. Nếu $f'(a)=0$ thì pháp tuyến là đường thẳng đứng $x=a$ — một trường hợp đề hay hỏi bẫy.
Với $x$ gần $a$ thì $L(x)\approx f(x)$. Đây là cách ước lượng $\sqrt[3]{8{,}1}$ hay $\ln(1{,}02)$ mà không cần máy tính: chọn $a$ đẹp gần nhất, dựng $L$, thay số.
Thừa hay thiếu là kết luận có căn cứ, không phải đoán. Nếu $f''>0$ trên khoảng giữa $a$ và $x$ thì đồ thị lõm lên, tiếp tuyến nằm dưới, nên $L(x)$ cho giá trị thiếu. Nếu $f''<0$ thì đồ thị lõm xuống, tiếp tuyến nằm trên, nên $L(x)$ cho giá trị thừa. Bài tự luận AP đòi cả kết luận lẫn lý do, và lý do bắt buộc phải nhắc tới tính lõm hoặc dấu của đạo hàm cấp hai.
Dùng xấp xỉ tuyến tính của $f(x)=e^{x}$ tại $a=0$ để ước lượng $e^{0{,}05}$. Ước lượng đó thừa hay thiếu? Giải thích.
Tại $a=0$: $f(0)=1$ và $f'(x)=e^{x}$ nên $f'(0)=1$. Vậy
$$L(x)=1+1\cdot(x-0)=1+x$$Do đó $e^{0{,}05}\approx L(0{,}05)=1{,}05$.
Chiều sai số: $f''(x)=e^{x}>0$ với mọi $x$, nên đồ thị $e^{x}$ lõm lên trên toàn trục số. Tiếp tuyến của một đồ thị lõm lên luôn nằm dưới đồ thị, nên $L(0{,}05)$ nhỏ hơn giá trị thật — ước lượng thiếu.
Giá trị thật là $1{,}05127\ldots$, đúng như dự đoán. Nhưng chú ý: bài thi cho điểm ở lập luận về dấu $f''$, không phải ở việc so với số thật, vì trong phòng thi không ai có số thật để so.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 2 — Differentiation: Definition and Fundamental Properties gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.