Mục lục bài họcĐang ở d05-b2
Critical Points, the First Derivative Test, and the Candidates Test
Critical points come in two flavours
An interior point $c$ of the domain is a critical point of $f$ if $f'(c)=0$ or $f'(c)$ does not exist. Both cases matter: $f(x)=x^{2/3}$ has no zero derivative anywhere, yet its minimum sits at $x=0$ where $f'$ blows up.
First Derivative Test
If $f'$ changes from positive to negative at $c$, then $f$ has a local maximum at $c$; from negative to positive gives a local minimum; no sign change gives neither. The test is about the sign change, never about the value $f'(c)=0$ by itself.
Candidates Test
To find the absolute extrema of a continuous $f$ on $[a,b]$: list every critical point in $(a,b)$ together with the two endpoints $a$ and $b$, evaluate $f$ at each candidate, and compare the numbers. The largest value is the absolute maximum, the smallest is the absolute minimum. No sign analysis is required — but the list must be complete.
Language matters on the AP exam: an absolute maximum value is a $y$-value; the location is an $x$-value. Answer the one that was asked.
Điểm tới hạn có hai loại, và bỏ sót loại thứ hai là nguồn mất điểm ổn định nhất. Điểm trong $c$ là điểm tới hạn nếu $f'(c)=0$ hoặc $f'(c)$ không tồn tại. Hàm $f(x)=x^{2/3}$ không có chỗ nào đạo hàm bằng $0$, nhưng giá trị nhỏ nhất của nó nằm đúng ở $x=0$ — nơi đạo hàm không tồn tại.
Tiêu chuẩn đạo hàm cấp một. $f'$ đổi dấu từ dương sang âm tại $c$ ⇒ $c$ là cực đại địa phương; từ âm sang dương ⇒ cực tiểu địa phương; không đổi dấu ⇒ không phải cực trị. Điều quyết định là sự đổi dấu, không phải bản thân đẳng thức $f'(c)=0$. Hàm $f(x)=x^3$ có $f'(0)=0$ mà $x=0$ không phải cực trị, đúng vì $f'$ không đổi dấu.
Phép thử ứng viên (candidates test) dùng cho giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tuyệt đối trên đoạn đóng $[a,b]$: liệt kê mọi điểm tới hạn nằm trong $(a,b)$, cộng thêm hai đầu mút, tính $f$ tại từng ứng viên rồi so số. Lớn nhất là GTLN, nhỏ nhất là GTNN. Không cần xét dấu — nhưng danh sách phải đủ.
Chú ý cách hỏi: "giá trị lớn nhất" là số $y$; "tại đâu" là số $x$. Trả lời nhầm loại là mất điểm dù tính đúng.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tuyệt đối của $f(x)=x\sqrt{4-x^2}$ trên miền xác định $[-2,2]$.
Bước 1 — đạo hàm. Dùng quy tắc tích rồi quy đồng:
$$f'(x)=\sqrt{4-x^2}+x\cdot\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{\left(4-x^2\right)-x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$$Bước 2 — liệt kê điểm tới hạn. Tử bằng $0$ khi $x=\pm\sqrt2$. Mẫu bằng $0$ khi $x=\pm2$, tại đó $f'$ không tồn tại — nhưng $\pm2$ là đầu mút nên vào danh sách với tư cách đầu mút.
Bước 3 — phép thử ứng viên. Bốn ứng viên: $-2,\ -\sqrt2,\ \sqrt2,\ 2$.
$$f(-2)=0,\quad f\!\left(-\sqrt2\right)=-\sqrt2\cdot\sqrt2=-2,\quad f\!\left(\sqrt2\right)=2,\quad f(2)=0$$Bước 4 — so số. Giá trị lớn nhất là $2$, đạt tại $x=\sqrt2$. Giá trị nhỏ nhất là $-2$, đạt tại $x=-\sqrt2$.
Điểm đáng nhớ: cả hai cực trị đều rơi vào điểm tới hạn bên trong, còn hai đầu mút chỉ cho $0$. Nhưng nếu không đưa hai đầu mút vào danh sách thì không có cơ sở nào để nói $2$ là lớn nhất — thiếu ứng viên là thiếu lập luận.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Analytical Applications of Differentiation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.