Mục lục bài họcĐang ở d07-b4
The Logistic Differential Equation
The logistic model — growth with a ceiling
The BC logistic differential equation appears in two algebraically identical dresses:
$$\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{M}\right)\qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{dP}{dt}=aP\left(M-P\right),\quad a=\frac{k}{M}$$Here $M$ is the carrying capacity and $k$ is the relative growth rate for small $P$. Reading $M$ and $k$ off whichever form is printed is half the battle.
What the exam expects you to state without solving:
- Equilibrium solutions $P=0$ and $P=M$; solutions starting in $(0,M)$ increase toward $M$, solutions starting above $M$ decrease toward $M$.
- $\dfrac{dP}{dt}$ is largest at $P=\dfrac{M}{2}$, because $P(M-P)$ is a downward parabola in $P$ with vertex there. That is the point of inflection of the graph of $P$ against $t$.
- $\displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)=M$ for any $P(0)>0$.
The explicit solution has the form $P(t)=\dfrac{M}{1+Ae^{-kt}}$, with $A$ fixed by the initial condition. Note that $A>0$ when $P(0)\lt M$ and $A<0$ when $P(0)>M$.
Phương trình logistic của BC xuất hiện dưới hai bộ áo đại số như nhau:
$$\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{M}\right)\qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{dP}{dt}=aP\left(M-P\right),\quad a=\frac{k}{M}$$$M$ là sức chứa, $k$ là tốc độ tăng tương đối khi $P$ còn nhỏ. Đọc đúng $M$ và $k$ từ bộ áo mà đề in ra đã là một nửa số điểm.
Những điều phải nói được mà không cần giải:
- Hai nghiệm cân bằng $P=0$ và $P=M$. Nghiệm xuất phát trong khoảng $(0,M)$ thì tăng dần lên $M$; xuất phát trên $M$ thì giảm dần xuống $M$. Không nghiệm nào vượt qua $M$, vì $P=M$ là một nghiệm và các nghiệm không cắt nhau.
- $\dfrac{dP}{dt}$ lớn nhất tại $P=\dfrac{M}{2}$, vì $P\left(M-P\right)$ là parabol quay xuống theo biến $P$, đỉnh nằm đúng giữa hai nghiệm. Đó cũng là điểm uốn của đồ thị $P$ theo $t$.
- $\displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)=M$ với mọi $P(0)>0$.
Nghiệm tường minh có dạng $P(t)=\dfrac{M}{1+Ae^{-kt}}$, hằng số $A$ do điều kiện đầu quyết định: $A>0$ khi $P(0)\lt M$, và $A<0$ khi $P(0)>M$.
Một quần thể thoả $\dfrac{dP}{dt}=0{,}0004\,P\left(1200-P\right)$, với $P$ tính bằng cá thể và $t$ tính bằng năm. Tìm sức chứa, hằng số $k$, giá trị $P$ làm quần thể tăng nhanh nhất và tốc độ tăng lớn nhất đó.
Sức chứa. Đưa về dạng chuẩn bằng cách rút $1200$ ra ngoài:
$$\frac{dP}{dt}=0{,}0004\cdot 1200\;P\left(1-\frac{P}{1200}\right)=0{,}48\,P\left(1-\frac{P}{1200}\right)$$Vậy $M=1200$ và $k=0{,}48$ mỗi năm.
Tăng nhanh nhất. Tại $P=\dfrac{M}{2}=600$.
Tốc độ lớn nhất. Thế vào dạng gốc:
$$\frac{dP}{dt}=0{,}0004\cdot 600\cdot\left(1200-600\right)=0{,}0004\cdot 600\cdot 600=144$$tức $144$ cá thể mỗi năm.
Chú ý con số $0{,}0004$ không phải $k$: nó là $\dfrac{k}{M}$. Đây là chỗ mất điểm nhiều nhất ở dạng câu này.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Differential Equations gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.