Mục lục bài họcĐang ở d08-b1
Average Value, Net Change, and Motion
Three statements, one idea
$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx,\qquad F(b)-F(a)=\int_a^b F'(x)\,dx$$The average value of a continuous function is the height of the rectangle on $[a,b]$ whose area equals the area under the graph. The Mean Value Theorem for Integrals guarantees some $c$ in $[a,b]$ with $f(c)=f_{\text{avg}}$.
The net change theorem says an integral of a rate returns the accumulated amount, carrying the units of the rate multiplied by the units of the variable. If $R(t)$ is measured in liters per minute, then $\int_0^{9}R(t)\,dt$ is in liters.
For a particle on a line with velocity $v(t)$:
$$\text{displacement}=\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt,\qquad \text{total distance}=\int_{t_1}^{t_2}\left|v(t)\right|dt$$Also $x(t_2)=x(t_1)+\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}v(t)\,dt$: an integral never gives position by itself, it gives the change in position, so an initial condition is always required.
Ba phát biểu nhưng cùng một ý: tích phân của một tốc độ trả về lượng tích luỹ.
Giá trị trung bình $f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f$ là chiều cao của hình chữ nhật có cùng diện tích với miền dưới đồ thị. Định lý giá trị trung bình cho tích phân bảo đảm tồn tại $c$ trong $[a,b]$ mà $f(c)$ đúng bằng giá trị trung bình đó — nghĩa là hàm liên tục thật sự đạt mức trung bình của nó ít nhất một lần.
Định lý biến thiên thuần: $F(b)-F(a)=\int_a^b F'$. Đơn vị của kết quả là đơn vị của tốc độ nhân đơn vị của biến. Tốc độ đo bằng lít mỗi phút, cận tính bằng phút, thì tích phân ra lít.
Chuyển động thẳng: độ dời là $\int v$, còn quãng đường đi được là $\int\left|v\right|$. Hai số này chỉ bằng nhau khi $v$ không đổi dấu. Muốn có vị trí thì phải cộng thêm vị trí ban đầu: $x(t_2)=x(t_1)+\int_{t_1}^{t_2}v$. Đề AP luôn cho sẵn một điều kiện đầu, và ai bỏ quên nó thì mất trọn ý đó dù tích phân đúng.
Một phân biệt hay bị hỏi: vận tốc trung bình là $\frac{1}{b-a}\int v$, còn tốc độ trung bình là $\frac{1}{b-a}\int\left|v\right|$. Vận tốc trung bình có thể bằng $0$ trong khi tốc độ trung bình dương.
Một chất điểm chuyển động trên trục $Ox$ với $v(t)=3t^{2}-12$ (mét mỗi giây), $0\le t\le 3$, và $x(0)=5$.
Tìm độ dời, quãng đường đi được, vị trí tại $t=3$, rồi so sánh vận tốc trung bình với tốc độ trung bình.
Nguyên hàm. $F(t)=t^{3}-12t$, và $v(t)=0$ khi $t^{2}=4$, tức $t=2$ trong đoạn đã cho.
Dấu. Trên $(0,2)$ ta có $3t^{2}-12<0$; trên $(2,3)$ thì dương.
Độ dời: $F(3)-F(0)=(27-36)-0=-9$ mét.
Quãng đường: tách tại $t=2$.
$$\left|F(2)-F(0)\right|+\left|F(3)-F(2)\right|=\left|-16\right|+\left|-9-(-16)\right|=16+7=23$$Vị trí: $x(3)=x(0)+(-9)=-4$.
Hai loại trung bình: vận tốc trung bình $=\frac{-9}{3}=-3$ m/s, còn tốc độ trung bình $=\frac{23}{3}\approx 7{,}67$ m/s. Chất điểm chạy tới rồi quay lại nên hai số này rất khác nhau.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 8 — Applications of Integration gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.