Mục lục bài họcĐang ở d05-b1
The Mean Value Theorem and the Extreme Value Theorem
Two existence theorems
Extreme Value Theorem (EVT). If $f$ is continuous on a closed interval $[a,b]$, then $f$ attains both an absolute maximum and an absolute minimum on $[a,b]$.
Mean Value Theorem (MVT). If $f$ is continuous on $[a,b]$ and differentiable on the open interval $(a,b)$, then there exists at least one $c$ in $(a,b)$ with
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$In words: somewhere inside the interval the instantaneous rate equals the average rate. Rolle's Theorem is the special case $f(a)=f(b)$, which forces $f'(c)=0$.
Both theorems are existence statements: they promise a point exists, they do not tell you where. On the AP exam the credit is earned by verifying the hypotheses first — continuity on the closed interval, differentiability on the open one — and only then invoking the conclusion by name. A response that produces the right value of $c$ without stating why the theorem applies loses the justification point.
The most useful consequence: if $f'(x)\le M$ everywhere on $[a,b]$, then $f(b)-f(a)\le M(b-a)$. Bounds on a derivative become bounds on the function itself.
Hai định lý này đều thuộc loại khẳng định sự tồn tại: chúng hứa có một điểm nào đó, chứ không chỉ ra điểm đó ở đâu. Hiểu đúng bản chất ấy là điều kiện để viết được câu trả lời có điểm.
Định lý giá trị cực trị (EVT). Nếu $f$ liên tục trên đoạn đóng $[a,b]$ thì $f$ đạt cả giá trị lớn nhất lẫn giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Bỏ chữ "đóng" hoặc bỏ chữ "liên tục" là mất bảo đảm: hàm $f(x)=x$ trên khoảng mở $(0,1)$ không đạt cực trị nào cả.
Định lý giá trị trung bình (MVT). $f$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên khoảng mở $(a,b)$ thì tồn tại $c\in(a,b)$ sao cho $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Nói bằng lời: ở đâu đó bên trong, tốc độ tức thời bằng tốc độ trung bình. Trường hợp riêng $f(a)=f(b)$ cho $f'(c)=0$, đó là định lý Rolle.
Chỗ ăn điểm ở phần tự luận không phải con số $c$, mà là câu kiểm giả thiết viết ra giấy: liên tục trên đoạn đóng, khả vi trên khoảng mở, rồi mới gọi tên định lý. Viết đúng $c$ mà không kiểm giả thiết thì mất điểm lập luận.
Hệ quả dùng nhiều nhất: nếu $f'(x)\le M$ trên $[a,b]$ thì $f(b)-f(a)\le M(b-a)$. Chặn được đạo hàm là chặn được hàm — dạng câu này xuất hiện gần như mỗi năm.
Cho $f(x)=\ln x$ trên đoạn $[1,e]$. Kiểm giả thiết của định lý giá trị trung bình rồi tìm mọi giá trị $c$ mà định lý bảo đảm.
Bước 1 — kiểm giả thiết. $\ln x$ liên tục trên $[1,e]$ và khả vi trên $(1,e)$ vì cả đoạn nằm trong miền $x>0$. Vậy MVT áp dụng được.
Bước 2 — tính tốc độ trung bình.
$$\frac{f(e)-f(1)}{e-1}=\frac{1-0}{e-1}=\frac{1}{e-1}$$Bước 3 — giải phương trình. $f'(x)=\dfrac1x$, nên
$$\frac1c=\frac{1}{e-1}\;\Longrightarrow\; c=e-1\approx 1{,}718$$Bước 4 — kiểm $c$ có nằm trong khoảng mở không. $1
Bước 4 không phải hình thức: nếu nghiệm rơi ra ngoài $(a,b)$ thì nghiệm đó không phải thứ định lý nói tới, và câu trả lời phải loại nó.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Analytical Applications of Differentiation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.