Mục lục bài họcĐang ở d06-b4
Partial Fractions and Improper Integrals
Splitting a rational function
AP BC only requires the easy case: the denominator factors into distinct linear factors, and the numerator has strictly lower degree. Then
$$\frac{P(x)}{(x-r_1)(x-r_2)}=\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}$$Clear denominators and substitute $x=r_1$, then $x=r_2$: each substitution kills one unknown, so no linear system is needed. Each piece integrates to a logarithm, so the answer is a combination $A\ln|x-r_1|+B\ln|x-r_2|+C$. If the numerator's degree is not lower, do polynomial long division first.
Integrals that reach past the finite
An integral is improper when the interval is unbounded, or when the integrand blows up somewhere on the interval. In both cases the definition is a limit:
$$\int_a^{\infty} f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx,\qquad \int_a^{b} f(x)\,dx=\lim_{c\to a^{+}}\int_c^{b} f(x)\,dx\ \text{ if } f \text{ blows up at } a$$The integral converges if the limit is a finite number and diverges otherwise. The benchmark to memorise: $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^{p}}$ converges exactly when $p>1$, while $\displaystyle\int_0^{1}\frac{dx}{x^{p}}$ converges exactly when $p<1$. The two thresholds point in opposite directions, and $p=1$ diverges in both.
Tách phân thức. AP BC chỉ đòi trường hợp dễ: mẫu phân tích được thành các nhân tử bậc nhất khác nhau, và bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu. Khi đó $\frac{P(x)}{(x-r_1)(x-r_2)}=\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}$. Quy đồng bỏ mẫu rồi thay lần lượt $x=r_1$ và $x=r_2$: mỗi lần thay giết một ẩn, khỏi phải giải hệ. Mỗi mảnh cho một loga, nên kết quả luôn có dạng $A\ln|x-r_1|+B\ln|x-r_2|+C$. Nếu bậc tử không nhỏ hơn bậc mẫu, phải chia đa thức trước.
Tích phân suy rộng. Một tích phân là suy rộng khi đoạn lấy tích phân vô hạn, hoặc khi hàm dưới dấu tích phân vọt lên vô cùng tại một điểm nào đó của đoạn. Cả hai trường hợp đều định nghĩa bằng giới hạn: cắt ở một chữ cái mới, tính tích phân hữu hạn trước, rồi mới cho chữ cái đó tiến ra biên. Bài làm phải viết ra dấu $\lim$, vì đó là chỗ rubric cho điểm.
Tích phân hội tụ nếu giới hạn là một số hữu hạn, phân kỳ nếu không. Hai mốc phải thuộc, và chúng chỉ về hai hướng ngược nhau: $\int_1^{\infty}x^{-p}dx$ hội tụ khi $p>1$; $\int_0^{1}x^{-p}dx$ hội tụ khi $p<1$. Ở giữa, $p=1$ phân kỳ ở cả hai. Cách nhớ: ra vô cực thì cần hàm tắt nhanh nên mũ phải lớn; sát điểm vô cực thì cần hàm vọt chậm nên mũ phải nhỏ.
Xét sự hội tụ và tính giá trị (nếu có) của $\displaystyle\int_3^{\infty}\frac{4}{x^{2}-4}\,dx$.
Bước 1 — tách. $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$, viết $\frac{4}{(x-2)(x+2)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}$, tức $4=A(x+2)+B(x-2)$.
Thay $x=2$: $4=4A$ nên $A=1$. Thay $x=-2$: $4=-4B$ nên $B=-1$.
Bước 2 — nguyên hàm.
$$\int\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)dx=\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C$$Bước 3 — giới hạn.
$$\int_3^{\infty}\frac{4\,dx}{x^{2}-4}=\lim_{b\to\infty}\left[\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|\right]_3^{b}=\lim_{b\to\infty}\left(\ln\frac{b-2}{b+2}-\ln\frac15\right)$$Khi $b\to\infty$ thì $\frac{b-2}{b+2}\to1$ nên $\ln\frac{b-2}{b+2}\to0$. Vậy tích phân hội tụ và bằng $-\ln\frac15=\ln 5$.
Việc gộp hai loga thành một trước khi lấy giới hạn là mẹo đáng nhớ: để rời thì mỗi loga đều tiến ra $\infty$, gộp lại thì hiệu của chúng lộ ra là hữu hạn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Integration and Accumulation of Change gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.