Mục lục bài họcĐang ở d09-b4
Area in Polar Coordinates
Sectors, not rectangles
In rectangular coordinates a thin slice of area is a rectangle, $dA=y\,dx$. In polar coordinates a thin slice is a circular sector of radius $r$ and angle $d\theta$, whose area is
$$dA=\tfrac12 r^2\,d\theta$$Adding the sectors gives the region swept from $\theta=\alpha$ to $\theta=\beta$:
$$A=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}\left[f(\theta)\right]^2 d\theta$$Two curves
For the region inside $r=f(\theta)$ and outside $r=g(\theta)$, subtract the squares, never the curves:
$$A=\frac12\int_{\alpha}^{\beta}\left(\left[f(\theta)\right]^2-\left[g(\theta)\right]^2\right)d\theta$$The limits $\alpha$ and $\beta$ come from solving $f(\theta)=g(\theta)$, but a sketch is still required, because polar curves can intersect at the pole or at points reached with different $\theta$-values on each curve — those intersections never show up in the equation.
Choosing limits
The limits must sweep the region exactly once. For a rose with an odd number of petals, $\theta$ running from $0$ to $2\pi$ traces every petal twice, so the naive integral doubles the true area.
Trong toạ độ vuông góc, lát cắt mỏng là một hình chữ nhật, $dA=y\,dx$. Trong toạ độ cực, lát cắt mỏng là một hình quạt tròn bán kính $r$, góc $d\theta$, nên
$$dA=\frac{1}{2}r^2\,d\theta\qquad\Longrightarrow\qquad A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\left[f(\theta)\right]^2 d\theta$$Thừa số $\frac12$ và dấu bình phương không phải trang trí: chúng đến thẳng từ công thức diện tích hình quạt $\frac12 r^2\Delta\theta$.
Với miền nằm trong $r=f(\theta)$ và nằm ngoài $r=g(\theta)$, phải trừ bình phương chứ không trừ hai bán kính rồi mới bình phương:
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\left(\left[f(\theta)\right]^2-\left[g(\theta)\right]^2\right)d\theta$$Cận $\alpha,\beta$ lấy từ nghiệm của $f(\theta)=g(\theta)$, nhưng vẫn phải vẽ phác. Lý do: hai đường cực có thể cắt nhau tại gốc cực, hoặc cắt nhau tại một điểm mà mỗi đường đi qua với một giá trị $\theta$ khác nhau — những giao điểm loại này không bao giờ xuất hiện khi giải phương trình.
Cuối cùng, cận phải quét miền đúng một lần. Với hoa hồng có số cánh lẻ, cho $\theta$ chạy từ $0$ tới $2\pi$ là mỗi cánh bị quét hai lượt, và tích phân trả về gấp đôi diện tích thật.
Tính diện tích một cánh của đường $r=2\cos(3\theta)$, và giải thích vì sao $\frac12\int_0^{2\pi}r^2\,d\theta$ không cho tổng diện tích ba cánh.
Cận của một cánh. Cánh giữa ứng với $r\ge 0$, tức $\cos(3\theta)\ge 0$, cho $-\frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{6}$.
$$A=\frac12\int_{-\pi/6}^{\pi/6}4\cos^2(3\theta)\,d\theta=2\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos^2(3\theta)\,d\theta$$Hạ bậc $\cos^2 u=\frac{1+\cos 2u}{2}$:
$$A=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\left(1+\cos 6\theta\right)d\theta=\left[\theta+\frac{\sin 6\theta}{6}\right]_{-\pi/6}^{\pi/6}=\left(\frac{\pi}{6}+0\right)-\left(-\frac{\pi}{6}+0\right)=\frac{\pi}{3}$$Ba cánh cho tổng $\pi$.
Vì sao cận $0$ tới $2\pi$ hỏng. Tính thẳng ra $\frac12\int_0^{2\pi}4\cos^2(3\theta)\,d\theta=\int_0^{2\pi}\left(1+\cos6\theta\right)d\theta=2\pi$, gấp đôi đáp số đúng. Nguyên nhân: hoa hồng $r=2\cos(3\theta)$ có ba cánh, và khi $\theta$ chạy hết một vòng thì các giá trị $r$ âm vẽ lại đúng ba cánh cũ lần thứ hai. Công thức tích phân không biết điều đó, nó cộng cả hai lượt.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 9 — Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.