Mục lục bài họcĐang ở d10-b1
Sequences, Series, and the First Family of Tests
A series is the limit of its partial sums
Given a sequence $a_n$, the $n$th partial sum is $s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$. The infinite series $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converges to $S$ precisely when $\lim_{n\to\infty}s_n=S$; otherwise it diverges. Everything in this unit is a technique for deciding which of the two happens without computing $s_n$ in closed form.
Two families must be known cold, because every other test compares against them.
$$\sum_{n=0}^{\infty}ar^{n}=\frac{a}{1-r}\ \ \text{if }|r|<1,\qquad \text{diverges if }|r|\ge 1$$$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}\ \ \text{converges if and only if } p>1$$The $n$th-term test is one-directional: if $\lim_{n\to\infty}a_n\ne 0$ the series diverges. If the limit is zero the test says nothing at all — the harmonic series $\sum\frac1n$ has terms going to zero and still diverges.
Chuỗi là giới hạn của dãy tổng riêng, không phải một phép cộng vô hạn theo nghĩa đen. Đặt $s_n=a_1+\cdots+a_n$; chuỗi hội tụ về $S$ khi và chỉ khi $s_n\to S$. Toàn bộ chương này là các mẹo trả lời câu hỏi đó mà không phải tìm công thức đóng của $s_n$.
Hai họ chuỗi phải thuộc như bảng cửu chương, vì mọi dấu hiệu còn lại đều so về hai họ này:
- Chuỗi hình học $\sum ar^{n}$ hội tụ đúng khi $|r|<1$, và tổng bằng số hạng đầu tiên thực sự có mặt chia cho $1-r$.
- Chuỗi $p$ $\sum\frac{1}{n^{p}}$ hội tụ đúng khi $p>1$. Mốc $p=1$ là chuỗi điều hoà — phân kỳ.
Dấu hiệu số hạng tổng quát chỉ chạy một chiều: $\lim a_n\neq 0$ thì kết luận ngay phân kỳ. Còn $\lim a_n=0$ thì không kết luận được gì. Chuỗi điều hoà là ví dụ phản chứng đứng sẵn ở đó: số hạng về $0$ mà tổng vẫn đi ra vô cực.
Tính tổng $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{5^{\,n+1}}{7^{\,n}}$ nếu chuỗi hội tụ.
Viết lại cho lộ dạng hình học: $\dfrac{5^{\,n+1}}{7^{\,n}}=5\cdot\left(\dfrac57\right)^{n}$.
Công bội $r=\dfrac57$, mà $\left|\dfrac57\right|<1$ nên chuỗi hội tụ.
Số hạng đầu tiên thực sự có mặt ứng với $n=2$:
$$a=5\cdot\left(\frac57\right)^{2}=\frac{125}{49}$$$$S=\frac{a}{1-r}=\frac{125/49}{1-5/7}=\frac{125/49}{2/7}=\frac{125}{49}\cdot\frac72=\frac{125}{14}$$Bước dễ hỏng là lấy $a=5$ vì thấy hệ số $5$ đứng trước. Công thức $\frac{a}{1-r}$ đòi $a$ là giá trị của số hạng đầu tiên, không phải hệ số của biểu thức.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 10 — Infinite Sequences and Series gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.