Mục lục bài họcĐang ở d03-b2
Implicit Differentiation and Higher-Order Derivatives
Every $y$ that gets differentiated pays a toll
When an equation cannot be solved for $y$, differentiate every term with respect to $x$ while treating $y$ as an unknown function of $x$. Each time the derivative touches a $y$, the chain rule attaches a factor $\dfrac{dy}{dx}$:
$$\frac{d}{dx}\left(y^{4}\right)=4y^{3}\frac{dy}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\left(x^{2}y\right)=2xy+x^{2}\frac{dy}{dx},\qquad\frac{d}{dx}e^{y}=e^{y}\frac{dy}{dx}$$Collect every $\dfrac{dy}{dx}$ on one side, factor, and divide. The answer usually contains both variables, and that is correct: a single value of $x$ may sit on two different branches of the curve, and only $y$ tells the branches apart.
Reading tangents off the fraction
With $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{N(x,y)}{D(x,y)}$, a horizontal tangent needs $N=0$ with $D\ne 0$, and a vertical tangent needs $D=0$ with $N\ne 0$. When $N$ and $D$ vanish together the formula says nothing at all, and the point must be examined separately.
Second derivatives
Differentiate the expression for $\dfrac{dy}{dx}$ again, then substitute the first derivative back in. An answer still containing $\dfrac{dy}{dx}$ is not finished.
Khi không tách được $y$ ra một vế, cứ đạo hàm cả hai vế theo $x$ và coi $y$ là một hàm của $x$. Mỗi lần đạo hàm chạm vào $y$, quy tắc dây chuyền bắt trả một khoản phí: thừa số $\frac{dy}{dx}$. Vì thế $\left(y^{4}\right)'=4y^{3}\frac{dy}{dx}$, còn $\left(x^{2}y\right)'=2xy+x^{2}\frac{dy}{dx}$ — chỗ này dùng cả quy tắc tích lẫn dây chuyền.
Gom mọi số hạng chứa $\frac{dy}{dx}$ về một vế, đặt nhân tử chung rồi chia. Kết quả thường chứa cả $x$ lẫn $y$, và đó là điều đúng: một giá trị $x$ có thể nằm trên hai nhánh khác nhau của đường cong, chỉ $y$ mới phân biệt được hai nhánh ấy.
Đọc tiếp tuyến từ phân số. Với $\frac{dy}{dx}=\frac{N}{D}$: tiếp tuyến ngang khi $N=0$ và $D\neq0$; tiếp tuyến đứng khi $D=0$ và $N\neq0$. Khi $N$ và $D$ cùng bằng $0$ thì công thức không nói gì cả — phải xét riêng điểm đó, và đề BC rất thích cài đúng loại điểm này.
Đạo hàm cấp hai. Đạo hàm tiếp biểu thức $\frac{dy}{dx}$, rồi thế ngược $\frac{dy}{dx}$ vừa tìm được vào. Đáp án còn dính $\frac{dy}{dx}$ là bài chưa xong.
Cho đường tròn $x^{2}+y^{2}=25$. Tính $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ tại điểm $(3,4)$.
Lần một. Đạo hàm hai vế: $2x+2y\frac{dy}{dx}=0$, nên $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$. Tại $(3,4)$ được $-\frac34$.
Lần hai. Đạo hàm $-\frac{x}{y}$ bằng quy tắc thương, nhớ rằng $y$ là hàm của $x$:
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\frac{y\cdot 1-x\cdot\frac{dy}{dx}}{y^{2}}$$Thế ngược. Thay $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ vào:
$$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-\frac{y+\frac{x^{2}}{y}}{y^{2}}=-\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{3}}=-\frac{25}{y^{3}}$$Tại $(3,4)$: $-\frac{25}{64}$.
Dạng gọn $-\frac{25}{y^{3}}$ còn cho biết nhánh trên ($y>0$) luôn lõm xuống và nhánh dưới luôn lõm lên — đúng hình dạng đường tròn.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 3 — Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.