Mục lục bài họcĐang ở d09-b1
Parametric Equations: Derivatives and Tangent Lines
Slope without solving for y
A parametric curve gives $x$ and $y$ separately as functions of a third variable $t$. Since $y$ is never written in terms of $x$, the chain rule supplies the slope:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad\text{provided }\frac{dx}{dt}\ne 0$$The second derivative is the step almost everyone gets wrong. It is not $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. It is the $t$-derivative of the first derivative, divided again by $dx/dt$:
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$$Horizontal and vertical tangents
A horizontal tangent needs $\dfrac{dy}{dt}=0$ while $\dfrac{dx}{dt}\ne 0$; a vertical tangent needs $\dfrac{dx}{dt}=0$ while $\dfrac{dy}{dt}\ne 0$. When both vanish at the same $t$, the formula returns $\tfrac00$ and decides nothing: the point may be a cusp, a self-intersection, or a perfectly ordinary smooth point. In that case simplify $\dfrac{dy}{dx}$ algebraically and take the limit as $t$ approaches that value.
Đường tham số cho $x$ và $y$ tách rời, cùng phụ thuộc một biến thứ ba là $t$. Không có công thức $y$ theo $x$, nên hệ số góc phải lấy qua quy tắc dây chuyền: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$, với điều kiện $\frac{dx}{dt}\neq 0$.
Đạo hàm cấp hai là chỗ mất điểm nhiều nhất của cả chương. Nó không phải $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Quy trình đúng gồm hai nhịp: (1) tính $\frac{dy}{dx}$ như một hàm của $t$; (2) đạo hàm biểu thức đó theo $t$ rồi chia tiếp cho $\frac{dx}{dt}$.
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$Tiếp tuyến ngang: $\frac{dy}{dt}=0$ và $\frac{dx}{dt}\neq 0$. Tiếp tuyến đứng: $\frac{dx}{dt}=0$ và $\frac{dy}{dt}\neq 0$. Nếu hai đạo hàm cùng bằng $0$ tại một giá trị $t$ thì công thức ra dạng $\frac{0}{0}$ và không kết luận được gì — điểm đó có thể là điểm lùi, điểm tự cắt, hoặc chỉ là một điểm trơn bình thường. Cách xử lý là rút gọn $\frac{dy}{dx}$ về dạng đại số đơn giản rồi lấy giới hạn khi $t$ tiến tới giá trị đó.
Cho $x=t^2$, $y=t^3-3t$. Tính $\frac{d^2y}{dx^2}$ tại $t=2$ và cho biết đường cong lồi hay lõm tại đó.
Nhịp 1. $\frac{dx}{dt}=2t$, $\frac{dy}{dt}=3t^2-3$, nên
$$\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-3}{2t}=\frac{3}{2}t-\frac{3}{2}t^{-1}$$Nhịp 2. Đạo hàm biểu thức trên theo $t$:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}t^{-2}$$Tại $t=2$ giá trị này bằng $\frac{3}{2}+\frac{3}{8}=\frac{15}{8}$.
Nhịp 3 — chia cho $\frac{dx}{dt}$. Tại $t=2$ thì $\frac{dx}{dt}=4$, nên
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{15/8}{4}=\frac{15}{32}>0$$Giá trị dương nên đường cong lõm lên tại điểm ứng với $t=2$.
Đối chiếu với cách làm sai hay gặp: $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}=\frac{6t}{2}=6$ tại $t=2$. Con số $6$ không liên quan gì tới độ cong của đồ thị trong mặt phẳng $xy$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 9 — Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.