Mục lục bài họcĐang ở d01-b4
End Behavior, Asymptotes, the Squeeze Theorem, and Growth Rates
Horizontal versus slant asymptotes
For a rational function $\frac{p(x)}{q(x)}$ compare degrees: if $\deg p<\deg q$ the horizontal asymptote is $y=0$; if the degrees are equal it is the ratio of leading coefficients; if $\deg p=\deg q+1$ there is no horizontal asymptote but a slant asymptote, obtained by long division. A curve may cross its horizontal or slant asymptote — that is only forbidden for vertical ones.
The Squeeze Theorem
If $g(x)\le f(x)\le h(x)$ near $c$ and $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, then $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$. It is the standard tool whenever a bounded factor multiplies something tending to zero.
The growth hierarchy
$$\ln x\;\ll\;x^{p}\;(p>0)\;\ll\;a^{x}\;(a>1)\;\ll\;x!$$Read $u\ll v$ as $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{u}{v}=0$. Every power of a logarithm still loses to every positive power of $x$, and every polynomial still loses to every exponential with base above $1$. This ordering is exactly the engine behind the Ratio Test and the comparison tests in Unit 10.
Tiệm cận của hàm phân thức quyết định bằng bậc. Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì tiệm cận ngang $y=0$; hai bậc bằng nhau thì tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số dẫn đầu; bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng $1$ đơn vị thì không có tiệm cận ngang mà có tiệm cận xiên, tìm bằng phép chia đa thức. Đồ thị được phép cắt tiệm cận ngang hoặc xiên; chỉ tiệm cận đứng mới là đường không bao giờ chạm.
Định lý kẹp. Nếu $g(x)\le f(x)\le h(x)$ trong lân cận của $c$ và hai hàm kẹp cùng tiến về $L$ thì $f$ cũng tiến về $L$. Dùng nó mỗi khi có một thừa số bị chặn nhân với một thứ tiến về $0$: $x^{2}\sin\!\left(\frac1x\right)$, $\frac{\cos x}{x}$, và mọi biến thể của chúng.
Thang bậc tăng, viết $u\ll v$ nghĩa là $\lim_{x\to\infty}\frac{u}{v}=0$:
$$\ln x\;\ll\;x^{p}\ (p>0)\;\ll\;a^{x}\ (a>1)\;\ll\;x!$$Mọi luỹ thừa của loga vẫn thua mọi luỹ thừa dương của $x$; mọi đa thức vẫn thua mọi hàm mũ cơ số lớn hơn $1$. Ba dấu $\ll$ này chính là động cơ của tiêu chuẩn tỉ số và các tiêu chuẩn so sánh ở Unit 10 — riêng phần BC, nắm thang bậc tăng từ Unit 1 tiết kiệm rất nhiều thời gian về sau.
Cho $f(x)=\dfrac{x^{2}-x-5}{x-2}$. Tìm mọi tiệm cận của đồ thị, rồi tìm mọi điểm mà đồ thị cắt tiệm cận xiên.
Bước 1 — chia đa thức.
$$\frac{x^{2}-x-5}{x-2}=x+1-\frac{3}{x-2}$$Kiểm nhanh: $(x-2)(x+1)=x^{2}-x-2$, còn thiếu $-3$ so với tử, khớp với số hạng $-\frac{3}{x-2}$.
Bước 2 — đọc tiệm cận. Phần dư $\frac{3}{x-2}$ tiến về $0$ khi $x\to\pm\infty$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$. Mẫu triệt tiêu tại $x=2$ trong khi tử tại đó bằng $4-2-5=-3\neq0$, nên tiệm cận đứng là $x=2$. Không có tiệm cận ngang vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu.
Bước 3 — tìm giao điểm với tiệm cận xiên. Cần $f(x)=x+1$, tức
$$x+1-\frac{3}{x-2}=x+1\;\Longleftrightarrow\;\frac{3}{x-2}=0$$Phương trình này vô nghiệm vì tử là hằng số khác $0$. Vậy đồ thị không cắt tiệm cận xiên của nó.
Kết quả đó không mâu thuẫn với lý thuyết: đồ thị được phép cắt tiệm cận xiên, nhưng ở hàm này phần dư không bao giờ bằng $0$. Nếu phần dư là $\frac{3x}{x^{2}+1}$ thì đã có giao điểm tại $x=0$.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x+2\cos\left(x^{2}\right)}{x+\sin x}$.
Bước 1 — nhận diện. Cả tử và mẫu đều ra vô cực, nhưng hai hàm lượng giác bên trong không có giới hạn nên không thể tách giới hạn từng phần.
Bước 2 — chia cho $x$.
$$\frac{3x+2\cos\left(x^{2}\right)}{x+\sin x}=\frac{3+\dfrac{2\cos\left(x^{2}\right)}{x}}{1+\dfrac{\sin x}{x}}$$Bước 3 — kẹp hai số hạng nhiễu. Vì $\left|\cos\left(x^{2}\right)\right|\le1$ nên $-\frac{2}{x}\le\frac{2\cos\left(x^{2}\right)}{x}\le\frac{2}{x}$; hai vế kẹp cùng tiến về $0$, do đó số hạng giữa tiến về $0$. Lập luận y hệt cho $\frac{\sin x}{x}\to0$.
Bước 4 — kết luận. Giới hạn bằng $\dfrac{3+0}{1+0}=3$.
Chú ý đối số $x^{2}$ của $\cos$ hoàn toàn không gây khó: định lý kẹp chỉ cần tính bị chặn, không cần biết bên trong là gì.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 1 — Limits and Continuity gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.