Mục lục bài họcĐang ở d06-b3
Integration by Parts
The product rule, run backwards
$$\int u\,dv=uv-\int v\,du,\qquad \int_a^b u\,dv=\Big[uv\Big]_a^b-\int_a^b v\,du$$The whole skill is choosing $u$. The working order is LIATE: Logarithmic, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential — whichever type appears first in that list becomes $u$, and the rest of the integrand becomes $dv$. The reason behind the order is simple: $u$ should be something that gets simpler when differentiated, while $dv$ should be something you can actually antidifferentiate.
Three recurring shapes
Polynomial times exponential or trig. Each round drops the polynomial degree by one, so degree $n$ needs $n$ rounds. The tabular layout does all rounds at once: differentiate the polynomial down to $0$ in the left column, antidifferentiate in the right column, then multiply along the diagonals with signs $+,-,+,\dots$
A lone logarithm or inverse trig. $\int \ln x\,dx$ has no obvious $dv$; take $u=\ln x$ and $dv=dx$, giving $x\ln x-x+C$. The same trick handles $\int\arctan x\,dx$.
Cyclic integrals. For $\int e^{x}\cos x\,dx$, two rounds return the original integral. Call it $I$, solve the resulting equation for $I$ algebraically, and remember the $+C$ at the end.
Công thức là quy tắc tích chạy ngược: $\int u\,dv=uv-\int v\,du$. Với tích phân xác định, phần $uv$ phải thay hai cận ngay, còn tích phân mới vẫn giữ nguyên hai cận đó.
Toàn bộ kỹ năng nằm ở việc chọn $u$. Thứ tự dùng được là LIATE: Loga, hàm ngược lượng giác (Inverse), đa thức (Algebraic), lượng giác (Trig), mũ (Exponential). Loại nào đứng trước trong danh sách thì làm $u$, phần còn lại làm $dv$. Lý do đằng sau thứ tự này rất thực dụng: $u$ phải là thứ đơn giản đi khi lấy đạo hàm, còn $dv$ phải là thứ ta thật sự tìm được nguyên hàm.
Ba dạng gặp đi gặp lại:
- Đa thức nhân mũ hoặc lượng giác. Mỗi vòng hạ bậc đa thức đi một, nên bậc $n$ cần $n$ vòng. Cách lập bảng làm cả $n$ vòng trong một hình: cột trái đạo hàm xuống tới $0$, cột phải lấy nguyên hàm liên tiếp, rồi nhân chéo với dấu xen kẽ $+,-,+,\dots$
- Loga hoặc hàm ngược đứng một mình. $\int\ln x\,dx$ không thấy $dv$ ở đâu; đặt $u=\ln x$, $dv=dx$ là ra $x\ln x-x+C$. $\int\arctan x\,dx$ làm y hệt.
- Tích phân quay vòng. $\int e^{x}\cos x\,dx$ sau hai vòng trở về chính nó. Gọi nó là $I$, chuyển vế giải phương trình theo $I$ như giải một ẩn số, rồi nhớ cộng $C$ ở dòng cuối.
Tính $\displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx$.
Đặt $I=\int e^{x}\sin x\,dx$. Chọn $u=\sin x$, $dv=e^{x}dx$:
$$I=e^{x}\sin x-\int e^{x}\cos x\,dx$$Làm tiếp tích phân bên phải, vẫn giữ nguyên kiểu chọn ($u$ là hàm lượng giác):
$$\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\cos x+\int e^{x}\sin x\,dx=e^{x}\cos x+I$$Thay ngược lên:
$$I=e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-I\;\Longrightarrow\;2I=e^{x}\left(\sin x-\cos x\right)$$$$I=\frac{e^{x}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)+C$$Điều kiện sống còn: hai vòng phải chọn cùng kiểu. Vòng đầu lấy hàm lượng giác làm $u$ thì vòng sau cũng vậy. Đổi kiểu giữa chừng sẽ đưa về đẳng thức $I=I$, đúng nhưng vô dụng.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Integration and Accumulation of Change gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.