Mục lục bài họcĐang ở d10-b3
Alternating Series, Absolute Convergence, and Error Bounds
Alternating series test and the error bound
For $\sum(-1)^{n}b_n$ with $b_n>0$, the series converges provided that (i) $b_n$ is eventually decreasing and (ii) $\lim_{n\to\infty}b_n=0$. Both conditions must be checked and stated on the free-response section; either one alone is not enough.
When the test applies, the truncation error obeys the alternating series error bound:
$$\left|S-s_n\right|\le b_{n+1}$$In words: the error is no larger than the magnitude of the first term you left out, and it carries the sign of that term.
Absolute versus conditional
$\sum a_n$ converges absolutely if $\sum|a_n|$ converges; absolute convergence implies convergence. It converges conditionally if $\sum a_n$ converges while $\sum|a_n|$ diverges — the classic example being $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}$.
Dấu hiệu chuỗi đan dấu đòi hai điều kiện, và trên bài tự luận phải viết ra cả hai: (1) $b_n$ giảm (được phép chỉ giảm từ một chỗ nào đó trở đi, nhưng phải nói rõ từ chỗ nào); (2) $b_n\to 0$. Thiếu một trong hai là dấu hiệu không áp dụng được.
Chặn sai số là thứ AP hỏi gần như mỗi năm:
$$\left|S-s_n\right|\le b_{n+1}$$Đọc thành lời: sai số không lớn hơn số hạng đầu tiên bị bỏ đi. Nhấn mạnh chữ 'bị bỏ đi' — không phải số hạng cuối cùng đã cộng vào. Đây là chỗ nhầm một bậc chỉ số phổ biến nhất của cả chương.
Tuyệt đối và có điều kiện. Chuỗi hội tụ tuyệt đối khi $\sum|a_n|$ hội tụ; hội tụ tuyệt đối thì chắc chắn hội tụ. Chuỗi hội tụ có điều kiện khi bản thân nó hội tụ nhưng chuỗi trị tuyệt đối phân kỳ. Mẫu kinh điển: $\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ hội tụ, còn $\sum\frac1n$ phân kỳ.
Quy trình phân loại luôn theo thứ tự: xét $\sum|a_n|$ trước. Hội tụ thì xong — tuyệt đối. Phân kỳ thì mới quay lại xét dấu hiệu đan dấu để phân biệt 'có điều kiện' với 'phân kỳ'.
Cho $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{2}+1}$. Chuỗi này hội tụ tuyệt đối hay có điều kiện? Cần lấy bao nhiêu số hạng để sai số nhỏ hơn $0{,}01$?
Bước 1 — xét trị tuyệt đối trước. $\sum\dfrac{1}{n^{2}+1}$. So sánh trực tiếp: $\dfrac{1}{n^{2}+1}<\dfrac{1}{n^{2}}$, mà $\sum\dfrac{1}{n^{2}}$ hội tụ ($p=2>1$). Vậy chuỗi trị tuyệt đối hội tụ, tức chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối.
Bước 2 — chặn sai số. Chuỗi vẫn là chuỗi đan dấu với $b_n=\dfrac{1}{n^{2}+1}$ giảm và về $0$, nên dùng được chặn sai số. Cần
$$b_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^{2}+1}<0{,}01\;\Longleftrightarrow\;(n+1)^{2}+1>100\;\Longleftrightarrow\;(n+1)^{2}>99$$Vậy $n+1\ge 10$, tức $n\ge 9$. Lấy 9 số hạng là đủ.
Chú ý bất đẳng thức viết cho $b_{n+1}$ chứ không cho $b_n$: ta muốn số hạng đầu tiên bị bỏ nhỏ hơn $0{,}01$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 10 — Infinite Sequences and Series gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.