Mục lục bài họcĐang ở d07-b3
Euler's Method
Euler's method — walking the slope field one step at a time
Given $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ and a starting point $(x_0,y_0)$, choose a step size $h$ and repeat:
$$x_{n+1}=x_n+h,\qquad y_{n+1}=y_n+h\cdot f(x_n,y_n)$$Each step follows the tangent line at the point you are standing on, not the point you are heading to. The result is a polygonal path that approximates the solution curve.
Two facts the exam tests more often than the arithmetic:
- Direction of the error. If the solution is concave up on the interval, every tangent segment lies below the curve, so Euler underestimates. Concave down gives an overestimate. Decide concavity from the sign of $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$, not from whether $y$ is increasing.
- Size of the error. Euler's method is first order: halving $h$ roughly halves the error. It never becomes exact for $h>0$ unless the solution is a straight line.
Stepping backwards, from $x_0$ to a smaller $x$, simply means $h<0$; the formula is unchanged.
Cho $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ và điểm xuất phát $(x_0,y_0)$, chọn bước $h$ rồi lặp:
$$x_{n+1}=x_n+h,\qquad y_{n+1}=y_n+h\cdot f(x_n,y_n)$$Mỗi bước đi theo tiếp tuyến tại điểm đang đứng, không phải điểm sắp tới. Kết quả là một đường gấp khúc bám theo đường nghiệm.
Hai điều đề hỏi nhiều hơn cả phần tính toán:
- Chiều sai số. Nghiệm lõm lên trên cả khoảng ⇒ mọi đoạn tiếp tuyến nằm dưới đường cong ⇒ Euler cho ước lượng thiếu. Lõm xuống thì ngược lại. Chiều lõm đọc từ dấu $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$, không đọc từ chuyện $y$ đang tăng hay giảm.
- Độ lớn sai số. Euler là phương pháp bậc nhất: chia đôi $h$ thì sai số giảm khoảng một nửa. Với $h>0$ nó không bao giờ thành chính xác, trừ khi nghiệm vốn là một đường thẳng.
Đi lùi, tức từ $x_0$ về phía $x$ nhỏ hơn, chỉ có nghĩa là $h<0$; công thức giữ nguyên, không đổi dấu gì thêm.
Nên trình bày thành bảng ba cột $x_n$, $y_n$, $f(x_n,y_n)$ — người chấm tìm được từng mắt xích, và bản thân người làm cũng không lạc dòng.
Cho $\dfrac{dy}{dx}=x+2y$ với $y(0)=1$. Dùng phương pháp Euler với hai bước bằng nhau, $h=0{,}25$, để xấp xỉ $y(0{,}5)$.
Bước 1. Tại $(x_0,y_0)=(0,1)$: $f=0+2(1)=2$.
$$y_1=1+0{,}25\cdot 2=1{,}5\quad\text{tại } x_1=0{,}25$$Bước 2. Tại $(0{,}25;\,1{,}5)$: $f=0{,}25+2(1{,}5)=3{,}25$.
$$y_2=1{,}5+0{,}25\cdot 3{,}25=2{,}3125\quad\text{tại } x_2=0{,}5$$Vậy $y(0{,}5)\approx 2{,}3125$.
Chiều lệch. $y''=1+2y'=1+2(x+2y)$, tại $(0,1)$ cho $y''=1+2(2)=5>0$, và $y''$ giữ dấu dương trên cả khoảng vì $y$ dương và tăng. Đồ thị lõm lên nên $2{,}3125$ là ước lượng thiếu.
Mấu chốt kỹ thuật: hệ số góc ở bước 2 phải tính tại $y_1=1{,}5$ vừa tìm được, không phải tại $y_0=1$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Differential Equations gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.