Mục lục bài họcĐang ở d01-b1
Limits, One-Sided Limits, and the Three Ways a Limit Fails
What the notation actually claims
$\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ says: the outputs $f(x)$ can be forced arbitrarily close to $L$ by taking $x$ close enough to $c$, but not equal to $c$. The value $f(c)$ is irrelevant to the limit — it may be a different number, or may not exist at all.
The two-sided limit exists exactly when both one-sided limits exist and agree:
$$\lim_{x\to c}f(x)=L\iff\lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x)=L$$Three distinct failures
- Jump: the one-sided limits both exist but differ. Typical sources are absolute values, piecewise definitions, and $\arctan$ of something blowing up.
- Oscillation: the outputs keep sweeping across a whole interval, as in $\sin(1/x)$ near $0$. No single $L$ works.
- Unbounded: the outputs exceed every bound. Writing $\lim=\infty$ is a description of how the limit fails, not a claim that it exists.
On the BC exam this vocabulary returns in Unit 10: a series converges precisely when the limit of its partial sums exists, and the three failures above become the three ways a series diverges.
Ký hiệu $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ nói một điều rất hẹp: ép $x$ tới gần $c$ đủ mức thì $f(x)$ gần $L$ tuỳ ý — nhưng không bao giờ lấy $x=c$. Cho nên $f(c)$ hoàn toàn không tham gia vào việc tính giới hạn: nó có thể bằng số khác, hoặc không tồn tại, giới hạn vẫn nguyên giá trị đó.
Giới hạn hai phía tồn tại đúng khi hai giới hạn một phía cùng tồn tại và bằng nhau. Đó là câu duy nhất cần thuộc, và cũng là câu bị bỏ qua nhiều nhất khi gặp hàm ghép khúc.
Có ba kiểu hỏng khác hẳn nhau, đề AP phân biệt rất kỹ:
- Nhảy bậc — hai phía đều có giới hạn nhưng hai số khác nhau. Nguồn quen thuộc: trị tuyệt đối, hàm ghép khúc, và $\arctan$ của một biểu thức phát ra vô cực.
- Dao động — giá trị quét đi quét lại cả một khoảng, ví dụ $\sin\!\left(\frac1x\right)$ quanh $0$; không số $L$ nào chịu được.
- Không bị chặn — giá trị vượt mọi chặn trên. Viết $\lim=\infty$ là mô tả cách hỏng, không phải khẳng định giới hạn tồn tại.
Vốn từ này quay lại nguyên vẹn ở Unit 10 của BC: chuỗi hội tụ đúng khi giới hạn của dãy tổng riêng tồn tại, và ba kiểu hỏng ở trên trở thành ba kiểu phân kỳ.
Cho $g(x)=\arctan\!\left(\dfrac{2}{x-3}\right)$ với $x\neq3$. Xét $\lim_{x\to3^-}g(x)$, $\lim_{x\to3^+}g(x)$ và $\lim_{x\to3}g(x)$.
Bước 1 — theo dõi biểu thức bên trong. Khi $x\to3^+$ thì $x-3\to0^+$ nên $\dfrac{2}{x-3}\to+\infty$. Khi $x\to3^-$ thì $x-3\to0^-$ nên $\dfrac{2}{x-3}\to-\infty$.
Bước 2 — cho biểu thức đó chạy qua $\arctan$. Hàm $\arctan$ có hai tiệm cận ngang:
$$\lim_{u\to+\infty}\arctan u=\frac{\pi}{2},\qquad \lim_{u\to-\infty}\arctan u=-\frac{\pi}{2}$$Bước 3 — kết luận. $\lim_{x\to3^+}g(x)=\dfrac{\pi}{2}$ và $\lim_{x\to3^-}g(x)=-\dfrac{\pi}{2}$. Hai số khác nhau nên $\lim_{x\to3}g(x)$ không tồn tại, và kiểu hỏng ở đây là nhảy bậc với độ nhảy $\pi$.
Điểm đáng chú ý: bên trong phát ra vô cực mà bên ngoài lại hoàn toàn bị chặn. Vì thế đây không phải gián đoạn vô cực — một nhầm lẫn rất hay gặp vì mắt chỉ nhìn thấy mẫu số bằng $0$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 1 — Limits and Continuity gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.