Mục lục bài họcĐang ở d01-b3
Continuity, Classifying Discontinuities, and Parameters
The definition is a checklist of three
$f$ is continuous at $x=c$ when all three hold:
- $f(c)$ is defined;
- $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ exists;
- the two are equal.
Which item fails tells you the name of the discontinuity, and AP questions ask for the name: a removable discontinuity (the limit exists but item 1 or 3 fails — a hole), a jump (item 2 fails with both one-sided limits finite), an infinite discontinuity (item 2 fails because the function is unbounded — a vertical asymptote).
Parameter problems
A piecewise function glued at $x=c$ produces one equation per gluing point: $\text{left limit}=\text{right limit}=f(c)$. Two unknowns therefore need two gluing points, and the resulting system is linear far more often than not.
The Intermediate Value Theorem
If $f$ is continuous on the closed interval $[a,b]$ and $N$ lies between $f(a)$ and $f(b)$, then $f(x)=N$ for at least one $x$ in $(a,b)$. The theorem guarantees existence, never uniqueness, and it says nothing at all when continuity fails anywhere on $[a,b]$.
Định nghĩa liên tục là một bảng ba mục, và đề AP hỏi thẳng mục nào hỏng: (1) $f(c)$ có giá trị; (2) $\lim_{x\to c}f(x)$ tồn tại; (3) hai thứ đó bằng nhau. Mục hỏng quyết định tên gọi của điểm gián đoạn.
- Khuyết (removable): giới hạn vẫn tồn tại, chỉ hỏng mục 1 hoặc mục 3 — đồ thị có một lỗ thủng, vá được bằng cách định nghĩa lại đúng một điểm.
- Nhảy bậc (jump): hỏng mục 2, nhưng hai giới hạn một phía đều hữu hạn.
- Vô cực (infinite): hỏng mục 2 vì hàm không bị chặn — tại đó có tiệm cận đứng.
Bài tham số. Hàm ghép khúc dán tại $x=c$ cho đúng một phương trình: giới hạn trái $=$ giới hạn phải $=f(c)$. Vậy hai ẩn cần hai điểm dán, và hệ thu được hầu như luôn là hệ tuyến tính. Trình tự an toàn: viết ba biểu thức tại mỗi mối dán, cho bằng nhau, rồi mới giải.
Định lý giá trị trung gian (IVT). Nếu $f$ liên tục trên đoạn đóng $[a,b]$ và $N$ nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$ thì có ít nhất một $x$ trong $(a,b)$ để $f(x)=N$. Định lý chỉ bảo đảm tồn tại, không bao giờ bảo đảm duy nhất; và chỉ cần liên tục hỏng ở một điểm bất kỳ của $[a,b]$ là định lý mất hiệu lực hoàn toàn. Bài tự luận đòi bạn viết ra việc kiểm giả thiết, không chỉ viết kết luận.
Cho $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x} & x<0\\[6pt] a & x=0\\[4pt] ax+b & 0
Mối dán tại $x=0$. Giới hạn trái là dạng $\frac00$, nhân liên hợp:
$$\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}=\frac{(x+9)-9}{x\left(\sqrt{x+9}+3\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}\longrightarrow\frac{1}{6}$$Giới hạn phải là $\lim_{x\to0^+}(ax+b)=b$, còn $f(0)=a$. Ba thứ phải bằng nhau:
$$b=\frac16\quad\text{và}\quad a=\frac16$$Mối dán tại $x=4$. Giới hạn trái là $4a+b$, giá trị $f(4)=4a+b$ (nhánh $ax+b$ lấy cả $x=4$), giới hạn phải là $\dfrac{b}{4-3}=b$. Điều kiện: $4a+b=b$, tức $a=0$.
Kết luận. Mối dán tại $0$ đòi $a=\frac16$, mối dán tại $4$ đòi $a=0$. Hai đòi hỏi mâu thuẫn, nên không tồn tại cặp $\left(a,b\right)$ làm $f$ liên tục tại cả hai điểm. Chọn $a=b=\frac16$ thì $f$ liên tục tại $0$ và có nhảy bậc tại $4$.
Đề AP có ra dạng "vô nghiệm" như thế này. Giải xong mà thấy mâu thuẫn thì hãy viết thẳng kết luận đó kèm lý do, đừng ép số cho khớp.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 1 — Limits and Continuity gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.