Mục lục bài họcĐang ở d02-b3
Power, Product and Quotient Rules
The working toolkit
$$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1},\qquad (fg)'=f'g+fg',\qquad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$$The power rule holds for every real exponent, so rewrite radicals and reciprocals as powers before differentiating: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ and $\dfrac{5}{x^{2}}=5x^{-2}$. Most sign errors in this unit are really rewriting errors made one line earlier.
The library you must know cold
$$\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},\quad \frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a,\quad \frac{d}{dx}\ln x=\frac1x$$$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\quad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x,\quad \frac{d}{dx}\tan x=\sec^{2}x$$$$\frac{d}{dx}\sec x=\sec x\tan x,\quad \frac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x,\quad \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x$$Note the pattern: every co-function derivative carries a minus sign. That single observation halves what has to be memorised.
Ba quy tắc trụ cột: $(x^{n})'=nx^{n-1}$, $(fg)'=f'g+fg'$, và $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$.
Quy tắc luỹ thừa đúng với mọi số mũ thực, nên hãy đổi căn và phân thức về luỹ thừa trước khi đạo hàm: $\sqrt{x}=x^{1/2}$, $\frac{5}{x^{2}}=5x^{-2}$. Phần lớn lỗi dấu trong chương này thực chất là lỗi viết lại dạng ở dòng phía trên.
Bảng phải thuộc như bảng cửu chương: $(e^{x})'=e^{x}$, $(a^{x})'=a^{x}\ln a$, $(\ln x)'=\frac1x$; $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(\tan x)'=\sec^{2}x$, $(\sec x)'=\sec x\tan x$, $(\csc x)'=-\csc x\cot x$, $(\cot x)'=-\csc^{2}x$.
Mẹo nhớ: mọi hàm bắt đầu bằng "co-" ($\cos$, $\csc$, $\cot$) đều có dấu trừ ở đạo hàm. Một nhận xét đó cắt đôi khối lượng phải học thuộc.
Thứ tự tử của quy tắc thương không đảo được: $f'g-fg'$, "trên trước dưới sau". Đảo lại là ra đúng số đối, và đề luôn cài sẵn số đối đó làm phương án nhiễu.
Cho $y=\left(x^{2}+1\right)\left(\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}\right)$. Tính $y'$ bằng quy tắc tích, rồi kiểm lại kết quả bằng cách khai triển trước khi đạo hàm.
Cách 1 — quy tắc tích. Đặt $f=x^{2}+1$ và $g=x^{1/2}-3x^{-1}$, khi đó $f'=2x$ và $g'=\frac{1}{2}x^{-1/2}+3x^{-2}$.
$$y'=2x\left(x^{1/2}-3x^{-1}\right)+\left(x^{2}+1\right)\left(\tfrac12 x^{-1/2}+3x^{-2}\right)$$Khai triển: $2x^{3/2}-6+\tfrac12 x^{3/2}+3+\tfrac12 x^{-1/2}+3x^{-2}$, gộp lại
$$y'=\tfrac52 x^{3/2}+\tfrac12 x^{-1/2}+3x^{-2}-3$$Cách 2 — khai triển trước. $y=x^{5/2}-3x+x^{1/2}-3x^{-1}$, đạo hàm từng hạng tử:
$$y'=\tfrac52 x^{3/2}-3+\tfrac12 x^{-1/2}+3x^{-2}$$Hai cách cho cùng một biểu thức. Bài này đáng làm hai lần vì nó dạy một quyết định chiến thuật: khi tích khai triển được gọn, khai triển trước thường nhanh và an toàn hơn; quy tắc tích chỉ bắt buộc khi có thừa số không khai triển được như $e^{x}$ hay $\sin x$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 2 — Differentiation: Definition and Fundamental Properties gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.