Mục lục bài họcĐang ở d08-b2
Area Between Curves
Top minus bottom, or right minus left
$$A=\int_a^b\Big[f(x)-g(x)\Big]dx\qquad\text{or}\qquad A=\int_c^d\Big[p(y)-q(y)\Big]dy$$Slice the region with thin rectangles. A vertical slice has height (upper curve minus lower curve) and width $dx$; a horizontal slice has width (right curve minus left curve) and height $dy$.
Choose the slicing direction that keeps one formula for the whole region. If the upper boundary switches from one curve to another partway across, either split the integral or slice the other way.
When the two curves cross inside the interval, the integrand changes sign. Then
$$A=\int_a^b\left|f(x)-g(x)\right|dx$$and the interval must be split at every crossing. Finding intersection points is therefore step one, not an afterthought.
Công thức chỉ có một: trên trừ dưới nhân bề rộng $dx$, hoặc phải trừ trái nhân chiều cao $dy$. Việc thật sự phải quyết định là cắt theo chiều nào.
Nguyên tắc chọn: cắt theo chiều nào mà cả miền dùng chung một công thức. Nếu đường biên trên đổi từ đường này sang đường kia giữa chừng, thì cắt dọc phải tách thành hai tích phân; lúc đó cắt ngang theo $dy$ thường gọn hơn hẳn. Miền bị chặn bởi một parabol nằm ngang và một đường thẳng là ví dụ kinh điển: theo $dx$ phải chia đôi, theo $dy$ chỉ một tích phân.
Nếu hai đường cắt nhau bên trong đoạn lấy tích phân thì hiệu đổi dấu, và diện tích phải viết là $\int\left|f-g\right|$, tức là tách tại từng giao điểm. Vì vậy bước đầu tiên luôn là giải phương trình giao điểm, không phải bấm máy.
Diện tích là số không âm. Ra số âm nghĩa là đặt nhầm thứ tự trên–dưới; đổi dấu là xong, nhưng nếu bỏ qua thì mọi phần sau của câu tự luận sai theo.
Tính diện tích miền được giới hạn bởi đường thẳng $y=x-1$ và parabol $y^{2}=2x+6$.
Bước 1 — viết mọi thứ theo $y$. Đường thẳng: $x=y+1$. Parabol: $x=\dfrac{y^{2}-6}{2}$.
Bước 2 — giao điểm. $\dfrac{y^{2}-6}{2}=y+1\Rightarrow y^{2}-2y-8=0\Rightarrow y=-2$ hoặc $y=4$.
Bước 3 — ai ở bên phải. Với $y=0$: đường thẳng cho $x=1$, parabol cho $x=-3$. Vậy đường thẳng nằm bên phải trên toàn khoảng.
$$A=\int_{-2}^{4}\left[(y+1)-\frac{y^{2}-6}{2}\right]dy=\int_{-2}^{4}\left(-\frac{y^{2}}{2}+y+4\right)dy$$$$=\left[-\frac{y^{3}}{6}+\frac{y^{2}}{2}+4y\right]_{-2}^{4}=\frac{40}{3}-\left(-\frac{14}{3}\right)=18$$Vì sao không cắt dọc. Theo $dx$, biên dưới của miền đổi từ nhánh dưới của parabol sang đường thẳng tại $x=-1$, nên phải viết hai tích phân riêng. Một tích phân theo $dy$ thay được cả hai.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 8 — Applications of Integration gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.