Mục lục bài họcĐang ở d07-b2
Separation of Variables and Exponential Models
Separation of variables, in a fixed order
- Separate: every $y$ with $dy$, every $x$ with $dx$. This is possible only when $\frac{dy}{dx}$ factors as $g(x)h(y)$.
- Integrate both sides, putting $+C$ on one side only.
- Substitute the initial condition immediately, while the equation is still in its raw antiderivative form.
- Solve for $y$, choosing the branch (sign of a square root, sign of $A$ in $y=Ae^{kx}$) that matches the initial condition.
- State the interval on which the particular solution is valid: the largest interval containing the initial $x$ on which the formula is defined and the differential equation makes sense.
The exponential pattern is worth recognising on sight: $\frac{dy}{dx}=k(y-b)$ gives $y-b=Ae^{kx}$, hence $y=b+Ae^{kx}$. The line $y=b$ is the equilibrium solution, and $A$ carries the sign of $y_0-b$.
Step 5 matters on BC free-response: an answer with no interval, or an interval that quietly steps over a point where the formula blows up, does not earn the point.
Năm bước, đúng thứ tự này:
- Tách: mọi thứ chứa $y$ đi với $dy$, mọi thứ chứa $x$ đi với $dx$. Chỉ tách được khi $\frac{dy}{dx}$ phân tích thành tích $g(x)h(y)$ — nhìn ra điều đó là bước đầu tiên phải làm.
- Tích phân hai vế, chỉ đặt $+C$ ở một vế.
- Thay điều kiện đầu ngay, khi phương trình còn ở dạng nguyên hàm thô, chưa gỡ $\ln$ và $e$.
- Giải ra $y$, và chọn nhánh cho khớp điều kiện đầu: dấu của căn, dấu của hằng số $A$ trong $y=Ae^{kx}$.
- Nêu khoảng xác định của nghiệm riêng: khoảng lớn nhất chứa $x$ ban đầu mà công thức còn nghĩa và phương trình còn nghĩa.
Mẫu cần nhận ra ngay: $\frac{dy}{dx}=k(y-b)$ cho $y-b=Ae^{kx}$, tức $y=b+Ae^{kx}$. Đường $y=b$ là nghiệm cân bằng, còn $A$ mang dấu của $y_0-b$ — xuất phát dưới $b$ thì $A$ âm và ở dưới mãi mãi.
Bước 5 là bước bị bỏ nhiều nhất mà lại có điểm riêng trong rubric BC. Nghiệm không kèm khoảng xác định, hoặc kèm một khoảng đi xuyên qua chỗ công thức nổ, đều không được điểm ấy.
Giải $\dfrac{dy}{dt}=0{,}4\,(y-50)$ với $y(0)=20$, rồi cho biết $y$ tiến về đâu khi $t$ lớn dần.
Tách: $\dfrac{dy}{y-50}=0{,}4\,dt$.
Tích phân: $\ln\left|y-50\right|=0{,}4t+C$.
Thay điều kiện đầu ngay: $\ln\left|20-50\right|=\ln 30=C$.
Mũ hoá: $\left|y-50\right|=e^{0,4t}\cdot e^{C}=30e^{0,4t}$. Vì $y(0)=20<50$ nên $y-50$ âm, chọn nhánh âm:
$$y=50-30e^{0,4t}$$Hành vi dài hạn: $e^{0,4t}\to+\infty$ nên $y\to-\infty$ — nghiệm chạy ra xa đường $y=50$, không tiến về nó.
Đó là điểm khác nhau giữa $k$ dương và $k$ âm: cùng một nghiệm cân bằng $y=50$, dấu của $k$ quyết định nghiệm bị hút vào hay bị đẩy ra.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 7 — Differential Equations gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.