Mục lục bài họcĐang ở d03-b3
Derivatives of Inverse Functions and Inverse Trigonometric Functions
The reciprocal-slope formula
$$\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'\!\left(f^{-1}(b)\right)}=\frac{1}{f'(a)}\quad\text{where } f(a)=b$$As a procedure: find the input $a$ that $f$ sends to $b$, evaluate $f'(a)$, then take the reciprocal. On AP questions the difficulty is nearly always in locating $a$ — usually by inspecting a cubic or reading a table — not in the formula itself.
The formula requires $f$ to be one-to-one near $a$ and $f'(a)\ne 0$. The standard justification on the exam is to show $f'$ never changes sign, so $f$ is strictly monotonic and therefore invertible.
Inverse trigonometric derivatives
$$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^{2}},\qquad\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}$$Composed with the chain rule these become $\dfrac{d}{dx}\arctan\big(g(x)\big)=\dfrac{g'(x)}{1+\big[g(x)\big]^{2}}$, and note carefully that the square lands on $g(x)$, not on $x$.
Công thức $\left(f^{-1}\right)'(b)=\frac{1}{f'(a)}$ với $f(a)=b$ nên được đọc thành ba bước: (1) tìm $a$ sao cho $f(a)=b$; (2) tính $f'(a)$; (3) lấy nghịch đảo. Phần khó của mọi câu AP về hàm ngược nằm ở bước 1 — đề giấu $a$ sau một phương trình bậc ba phải đoán nghiệm, hoặc sau một bảng số phải tra ngược — chứ không nằm ở công thức.
Công thức đòi $f$ đơn ánh quanh $a$ và $f'(a)\neq0$. Cách biện luận chuẩn trong phòng thi: chỉ ra $f'$ không đổi dấu, nên $f$ đơn điệu ngặt, nên có hàm ngược. Một câu như vậy thường được tính điểm riêng trong rubric.
Ba đạo hàm lượng giác ngược phải thuộc: $\arcsin$ ra $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$, $\arctan$ ra $\frac{1}{1+x^{2}}$, $\operatorname{arcsec}$ ra $\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}$. Ghép với dây chuyền thì bình phương rơi vào hàm trong: $\left[\arctan g\right]'=\frac{g'}{1+g^{2}}$, nên với $g=3x$ mẫu là $1+9x^{2}$ chứ không phải $1+3x^{2}$.
Cho $f(x)=2x^{3}+x-9$ và $g=f^{-1}$. Chứng minh $g$ tồn tại trên $\mathbb{R}$ rồi tính $g'(-6)$.
Tồn tại. $f'(x)=6x^{2}+1\geq1>0$ với mọi $x$, nên $f$ tăng ngặt trên $\mathbb{R}$, do đó đơn ánh và có hàm ngược.
Bước 1 — tìm $a$ với $f(a)=-6$. Thử $a=1$: $2+1-9=-6$ đúng. Vì $f$ đơn ánh nên đây là nghiệm duy nhất.
Bước 2 — tính $f'(1)$. $f'(1)=6+1=7$.
Bước 3 — lật.
$$g'(-6)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{7}$$Thế thẳng $-6$ vào $f'$ sẽ ra $6(36)+1=217$ rồi $\frac{1}{217}$ — một con số hoàn toàn vô nghĩa, và nó luôn được cài làm phương án nhiễu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 3 — Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.