Mục lục bài họcĐang ở d03-b4
Logarithmic Differentiation and Selecting a Procedure
When the exponent contains a variable
The power rule needs a constant exponent and the exponential rule needs a constant base, so an expression like $x^{\sin x}$ is served by neither. Take a natural logarithm of both sides first:
$$y=x^{\sin x}\;\Longrightarrow\;\ln y=\sin x\ln x\;\Longrightarrow\;\frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\;\Longrightarrow\;y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$$The step $\dfrac{d}{dx}\ln y=\dfrac{y'}{y}$ is implicit differentiation, and the final multiplication by $y$ is what returns the answer to the original variable. Forgetting it leaves only $\dfrac{y'}{y}$, which is not the requested derivative.
The same trick tames heavy products and quotients
Logarithms convert products into sums, quotients into differences and powers into coefficients, so a three-level quotient becomes three independent derivatives added together. This is far safer than nesting the quotient rule around the product rule around the chain rule.
Choosing the procedure
Read the outermost operation first: a sum means differentiate term by term; a product means the product rule; a quotient with a variable exponent means logarithms; a composition means the chain rule.
Quy tắc luỹ thừa đòi số mũ là hằng, quy tắc mũ đòi cơ số là hằng — nên $x^{\sin x}$ không thuộc cả hai. Lối ra là lấy logarit tự nhiên hai vế trước:
$$\ln y=\sin x\ln x\;\Longrightarrow\;\frac{y'}{y}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\;\Longrightarrow\;y'=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$$Bước $\frac{d}{dx}\ln y=\frac{y'}{y}$ chính là đạo hàm hàm ẩn của bài trước, và phép nhân $y$ ở cuối là bước đưa đáp án trở về biến gốc. Quên bước ấy thì bài chỉ dừng ở $\frac{y'}{y}$, không phải thứ đề hỏi.
Cùng mẹo đó trị được tích và thương nặng. Logarit biến tích thành tổng, thương thành hiệu, luỹ thừa thành hệ số — nên một biểu thức ba tầng thành ba đạo hàm rời rạc cộng lại, an toàn hơn nhiều so với lồng quy tắc thương ra ngoài quy tắc tích rồi lại dây chuyền bên trong.
Chọn công cụ theo phép toán ngoài cùng. Ngoài cùng là dấu cộng thì đạo hàm từng số hạng; là dấu nhân thì quy tắc tích; là thương hoặc có biến ở số mũ thì logarit; là hàm lồng hàm thì dây chuyền. Đọc sai phép toán ngoài cùng là chọn sai công cụ ngay từ dòng đầu, và không có cách nào cứu ở các dòng sau.
Cho $y=\dfrac{(x+2)^{4}\sqrt{3x-2}}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}$ với $x>\dfrac23$. Tính $y'(1)$ dưới dạng phân số đúng.
Lấy logarit hai vế (hợp lệ vì $y>0$ trên miền đang xét):
$$\ln y=4\ln(x+2)+\tfrac12\ln(3x-2)-3\ln\left(x^{2}+1\right)$$Đạo hàm hai vế theo $x$:
$$\frac{y'}{y}=\frac{4}{x+2}+\frac{3}{2(3x-2)}-\frac{6x}{x^{2}+1}$$Tại $x=1$:
$$y(1)=\frac{3^{4}\cdot 1}{2^{3}}=\frac{81}{8},\qquad \frac{y'}{y}\bigg|_{x=1}=\frac{4}{3}+\frac{3}{2}-3=\frac{8+9-18}{6}=-\frac{1}{6}$$Nhân lại với $y$:
$$y'(1)=\frac{81}{8}\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)=-\frac{27}{16}$$Làm trực tiếp thì phải lồng quy tắc thương ra ngoài, quy tắc tích bên trong, rồi dây chuyền ở từng thừa số — ba tầng và rất dễ sai dấu.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 3 — Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.