Mục lục bài họcĐang ở d08-b3
Volumes: Disks, Washers, and Known Cross-Sections
Every volume is one integral of a cross-sectional area
$$V=\int_a^b A(x)\,dx$$Everything in this unit is that single formula; only $A(x)$ changes.
Disk: $A=\pi\big[R(x)\big]^{2}$ when the region touches the axis of revolution.
Washer: $A=\pi\Big(\big[R(x)\big]^{2}-\big[r(x)\big]^{2}\Big)$ when a gap separates the region from the axis. Both radii are measured from the axis of revolution, so revolving about $y=k$ gives $R=f(x)-k$ (or $k-f(x)$, whichever is positive).
Known cross-sections: the solid is not a solid of revolution at all. With the base region of width $w(x)$, common faces are
$$\text{square }A=w^{2},\quad \text{semicircle }A=\frac{\pi}{8}w^{2},\quad \text{equilateral triangle }A=\frac{\sqrt3}{4}w^{2}$$Revolving about a vertical line forces integration in $y$; the roles of $x$ and $y$ swap but the formulas do not.
Cả bài này chỉ có một công thức: $V=\int A\,dx$ — cộng dồn diện tích thiết diện. Ba dạng đề chỉ khác nhau ở chỗ $A$ là gì.
Đĩa: miền chạm vào trục quay, $A=\pi R^{2}$.
Vành khuyên: có khe hở giữa miền và trục quay, $A=\pi\left(R^{2}-r^{2}\right)$. Điểm chết người: bán kính đo từ trục quay, không phải từ trục hoành. Quay quanh $y=-1$ thì $R=f(x)+1$ chứ không phải $f(x)$.
Thiết diện đã biết: vật thể này không sinh ra do quay. Miền đáy chỉ cho bề rộng $w(x)$, còn hình dạng mặt cắt do đề quy định. Thuộc ba diện tích: hình vuông $w^{2}$; nửa hình tròn đường kính $w$ là $\frac{\pi}{8}w^{2}$; tam giác đều cạnh $w$ là $\frac{\sqrt3}{4}w^{2}$. Không có $\pi$ trong hai trường hợp vuông và tam giác — thấy $\pi$ xuất hiện ở đó là dấu hiệu chép nhầm công thức quay.
Quay quanh một đường thẳng đứng thì lát cắt nằm ngang, nên phải viết mọi thứ theo $y$ và lấy cận theo $y$.
Miền $R$ bị chặn bởi $y=\sqrt{x}$ và $y=\dfrac{x}{2}$. Quay $R$ quanh đường $y=-1$. Tính thể tích khối tròn xoay.
Giao điểm. $\sqrt{x}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow 4x=x^{2}\Rightarrow x=0$ hoặc $x=4$. Trên $(0,4)$ thì $\sqrt{x}$ nằm trên.
Bán kính đo từ đường $y=-1$:
$$R=\sqrt{x}+1,\qquad r=\frac{x}{2}+1$$$$V=\pi\int_0^4\left[\left(\sqrt{x}+1\right)^{2}-\left(\frac{x}{2}+1\right)^{2}\right]dx$$Khai triển: $\left(x+2\sqrt{x}+1\right)-\left(\dfrac{x^{2}}{4}+x+1\right)=2\sqrt{x}-\dfrac{x^{2}}{4}$.
$$V=\pi\left[\frac{4}{3}x^{3/2}-\frac{x^{3}}{12}\right]_0^4=\pi\left(\frac{32}{3}-\frac{16}{3}\right)=\frac{16\pi}{3}$$Đối chiếu nhanh: nếu quay quanh chính trục hoành thì $V=\pi\int_0^4\left(x-\frac{x^{2}}{4}\right)dx=\frac{8\pi}{3}$. Dời trục xuống $1$ đơn vị làm thể tích tăng gấp đôi — con số này cho thấy vị trí trục quay không phải chi tiết phụ.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 8 — Applications of Integration gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.