Mục lục bài họcĐang ở d05-b3
Concavity, the Second Derivative Test, and Points of Inflection
Concavity is a statement about $f'$
The graph of $f$ is concave up on an interval when $f'$ is increasing there, equivalently when $f''>0$; it is concave down when $f'$ is decreasing, equivalently $f''<0$. Geometrically, concave up means every tangent line lies below the curve.
Points of inflection
A point of inflection is a point on the graph where concavity changes. Finding $f''(c)=0$ is only a first step: the sign of $f''$ must actually switch across $c$. For $f(x)=x^4$ we have $f''(0)=0$, yet $f''=12x^2\ge 0$ on both sides, so the origin is not an inflection point.
Second Derivative Test
If $f'(c)=0$ and $f''(c)<0$, then $f$ has a local maximum at $c$; if $f'(c)=0$ and $f''(c)>0$, a local minimum. If $f''(c)=0$ the test is inconclusive and you must fall back on the First Derivative Test.
Reading direction matters on graph questions: given the graph of $f'$, the concavity of $f$ is read from whether that graph is rising or falling, not from whether it is above or below the axis.
Lồi lõm là phát biểu về $f'$, không phải về $f$. Đồ thị $f$ lồi lên (concave up) trên một khoảng khi $f'$ đồng biến ở đó, tương đương $f''>0$; lõm xuống (concave down) khi $f'$ nghịch biến, tương đương $f''<0$. Về hình học: lồi lên nghĩa là mọi tiếp tuyến nằm dưới đường cong.
Điểm uốn là điểm trên đồ thị mà tính lồi lõm đổi chiều. Tìm được $f''(c)=0$ mới chỉ là nửa việc — phải kiểm dấu $f''$ có thật sự đổi khi qua $c$ hay không. Với $f(x)=x^4$ thì $f''(0)=0$ nhưng $f''=12x^2\ge0$ ở cả hai phía, nên gốc toạ độ không phải điểm uốn. Ngược lại, điểm uốn cũng có thể nằm ở chỗ $f''$ không tồn tại, miễn là $f$ liên tục tại đó.
Tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai. $f'(c)=0$ và $f''(c)<0$ ⇒ cực đại địa phương; $f'(c)=0$ và $f''(c)>0$ ⇒ cực tiểu địa phương. Còn $f''(c)=0$ thì tiêu chuẩn không kết luận được, phải quay về xét dấu $f'$. Đây là chỗ đề hay gài: cho một hàm mà cả $f'(c)$ lẫn $f''(c)$ cùng bằng $0$, rồi xem thí sinh có biết dừng lại hay không.
Với câu hỏi cho sẵn đồ thị của $f'$: tính lồi lõm của $f$ đọc từ chỗ đồ thị ấy đi lên hay đi xuống, không phải từ chỗ nó nằm trên hay dưới trục hoành. Nhầm hai cách đọc này là lỗi kinh điển của cả chương.
Cho $f(x)=x^4-4x^3$. Tìm mọi cực trị địa phương và mọi điểm uốn, nói rõ chỗ nào tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai không dùng được và bạn thay bằng gì.
Đạo hàm cấp một. $f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)$, bằng $0$ tại $x=0$ và $x=3$.
Đạo hàm cấp hai. $f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$.
Tại $x=3$: $f''(3)=12(3)(1)=36>0$, nên đây là cực tiểu địa phương, giá trị $f(3)=81-108=-27$.
Tại $x=0$: $f''(0)=0$ — tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai không kết luận được. Thay bằng tiêu chuẩn đạo hàm cấp một: trong $f'=4x^2(x-3)$, thừa số $4x^2$ luôn dương ở hai bên $0$, còn $(x-3)$ âm ở cả hai bên. Vậy $f'<0$ cả bên trái lẫn bên phải $x=0$: không đổi dấu, nên $x=0$ không phải cực trị.
Điểm uốn. $f''=12x(x-2)$ đổi dấu tại $x=0$ (từ dương sang âm) và tại $x=2$ (từ âm sang dương). Hai điểm uốn: $(0,0)$ và $\left(2,-16\right)$.
Bài này cho thấy một điều đáng nhớ: $x=0$ vừa là điểm tới hạn vừa là điểm uốn, mà không phải cực trị. Ba khái niệm đó độc lập với nhau.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Analytical Applications of Differentiation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.