Mục lục bài họcĐang ở d09-b3
Polar Curves and Their Slopes
Polar is parametric in disguise
A polar equation $r=f(\theta)$ becomes a parametric curve the moment you write
$$x=r\cos\theta=f(\theta)\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta=f(\theta)\sin\theta$$with $\theta$ playing the role of the parameter. Every rule from parametric curves therefore carries over unchanged. In particular, by the product rule,
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\frac{\dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta}{\dfrac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta}$$Do not confuse $\dfrac{dr}{d\theta}$ with $\dfrac{dy}{dx}$. The first says how fast the curve is moving away from the pole; the second is the slope of the tangent line in the $xy$-plane. They answer different questions.
Reading a polar graph
The curve is farthest from the pole where $\left|r\right|$ is largest, which is a $\dfrac{dr}{d\theta}=0$ question. The curve passes through the pole where $r=0$, and at such a $\theta$ the tangent line at the pole is simply the line $\theta=\theta_0$. A negative $r$ is legal: it plots the point in the opposite direction, $\theta_0+\pi$.
Phương trình cực $r=f(\theta)$ thực chất là một đường tham số trá hình. Chỉ cần viết $x=f(\theta)\cos\theta$ và $y=f(\theta)\sin\theta$, với $\theta$ đóng vai tham số, là mọi công thức của bài trước dùng lại được nguyên vẹn. Áp quy tắc tích cho hai biểu thức đó rồi lấy thương:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta+r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta-r\sin\theta}$$Đừng nhầm $\frac{dr}{d\theta}$ với $\frac{dy}{dx}$. Đại lượng thứ nhất nói đường cong đang rời xa hay tiến về gốc cực nhanh chậm ra sao; đại lượng thứ hai là hệ số góc tiếp tuyến trong mặt phẳng $xy$. Hai câu hỏi hoàn toàn khác nhau, và đề AP hỏi cả hai trong cùng một bài để tách người hiểu với người thuộc lòng.
Vài điều đọc thẳng từ đồ thị. Đường cong xa gốc cực nhất ở chỗ $\left|r\right|$ lớn nhất, đó là bài toán $\frac{dr}{d\theta}=0$. Đường cong đi qua gốc cực ở chỗ $r=0$, và tại giá trị $\theta_0$ đó tiếp tuyến chính là đường thẳng $\theta=\theta_0$. Giá trị $r$ âm vẫn hợp lệ: điểm được vẽ theo hướng ngược lại, tức góc $\theta_0+\pi$ — đây là nguồn gốc của chuyện một đường cong bị quét hai lần.
Cho $r=1+\cos\theta$. Tính $\frac{dy}{dx}$ tại $\theta=\frac{\pi}{2}$, và so sánh kết quả với $\frac{dr}{d\theta}$ tại cùng góc đó.
Tại $\theta=\frac{\pi}{2}$: $r=1+0=1$ và $\frac{dr}{d\theta}=-\sin\theta=-1$.
Thay vào công thức, với $\sin\frac{\pi}{2}=1$ và $\cos\frac{\pi}{2}=0$:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{(-1)(1)+(1)(0)}{(-1)(0)-(1)(1)}=\frac{-1}{-1}=1$$Vậy tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc $1$, nghiêng $45^\circ$.
Trong khi đó $\frac{dr}{d\theta}=-1$ chỉ nói rằng bán kính đang giảm khi $\theta$ tăng qua $\frac{\pi}{2}$ — điểm đang tiến gần gốc cực. Hai số $1$ và $-1$ trả lời hai câu hỏi khác nhau, thậm chí khác cả dấu, nên không thể dùng thay nhau.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 9 — Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.