Mục lục bài họcĐang ở d05-b4
Optimisation and the Behaviour of Implicitly Defined Relations
The five-step optimisation routine
(1) Draw and label. (2) Write the quantity to be optimised as a formula. (3) Use the constraint to reduce it to one variable, and state the domain that the physical situation allows. (4) Differentiate, set equal to zero, solve. (5) Justify that the critical value gives the extremum you claim, then answer the question that was actually asked.
Step 5 is where AP points are won and lost. Two acceptable justifications: a sign chart for the first derivative, or the second derivative test. If the domain is a closed interval you may instead use the candidates test. Simply asserting "this is the maximum" earns nothing.
Implicitly defined relations
The same analysis applies to a curve given by an equation in $x$ and $y$. Compute $\dfrac{dy}{dx}$ implicitly; the tangent is horizontal where the numerator vanishes and the denominator does not, and vertical where the denominator vanishes and the numerator does not. To classify such a point, compute $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ and simplify using the fact that $\dfrac{dy}{dx}=0$ there — that substitution collapses most of the algebra.
Quy trình năm bước cho bài toán tối ưu. (1) Vẽ hình, đặt tên biến. (2) Viết đại lượng cần tối ưu thành công thức. (3) Dùng ràng buộc để đưa về một biến, đồng thời ghi rõ miền mà tình huống thực tế cho phép. (4) Đạo hàm, cho bằng $0$, giải. (5) Chứng minh nghiệm đó cho đúng loại cực trị mình khẳng định, rồi trả lời đúng câu được hỏi.
Bước 5 mới là chỗ ăn điểm. Hai cách lập luận được chấp nhận: bảng xét dấu của đạo hàm cấp một, hoặc tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai. Nếu miền là đoạn đóng thì phép thử ứng viên cũng hợp lệ. Viết trống không "đây là giá trị lớn nhất" thì không được điểm nào cho ý đó.
Bước 3 hay bị bỏ nửa: nhiều bài làm đưa được về một biến nhưng không ghi miền. Miền là thứ quyết định có phải xét đầu mút hay không, và nhiều đề cố tình cho ràng buộc khiến miền là khoảng mở — khi đó bắt buộc phải xét dấu, không có đầu mút mà so.
Đường cong cho bởi hệ thức ẩn phân tích y hệt. Tính $\dfrac{dy}{dx}$ bằng đạo hàm ẩn; tiếp tuyến ngang ở chỗ tử bằng $0$ mà mẫu khác $0$, tiếp tuyến đứng ở chỗ mẫu bằng $0$ mà tử khác $0$. Muốn phân loại điểm có tiếp tuyến ngang, tính $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ rồi thế ngay $\dfrac{dy}{dx}=0$ vào — phép thế đó làm biến mất phần lớn đại số rườm rà.
Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có các cạnh song song với hai trục và nội tiếp elip $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$.
Bước 1 và 2. Gọi $(x,y)$ là đỉnh ở góc phần tư thứ nhất, $x>0$, $y>0$. Diện tích $A=(2x)(2y)=4xy$.
Bước 3 — khử một biến. Từ ràng buộc, $y=2\sqrt{1-\dfrac{x^2}{9}}=\dfrac{2}{3}\sqrt{9-x^2}$, nên
$$A(x)=\frac{8}{3}x\sqrt{9-x^2},\qquad 0Cho bằng $0$: $9-2x^2=0$, tức $x=\dfrac{3}{\sqrt2}$ (loại nghiệm âm vì miền là $x>0$).
Bước 5 — lập luận. Mẫu $\sqrt{9-x^2}$ dương trên toàn miền, nên dấu của $A'$ là dấu của $9-2x^2$: dương khi $x<\dfrac{3}{\sqrt2}$, âm khi $x>\dfrac{3}{\sqrt2}$. Đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên đó là cực đại, và vì là điểm tới hạn duy nhất trên khoảng nên cũng là giá trị lớn nhất tuyệt đối.
Trả lời. Khi đó $y=\dfrac{2}{3}\sqrt{9-\dfrac92}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{\sqrt2}=\sqrt2$, và
$$A=4\cdot\frac{3}{\sqrt2}\cdot\sqrt2=12$$Diện tích lớn nhất bằng $12$. Đề hỏi diện tích nên đáp số là $12$, không phải cặp $\left(\dfrac{3}{\sqrt2},\sqrt2\right)$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 5 — Analytical Applications of Differentiation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.