Mục lục bài họcĐang ở d03-b1
The Chain Rule and Repeated Nesting
One rule, applied from the outside in
$$\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x),\qquad\text{or}\qquad \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$The safest way to run the rule is mechanical. Step 1: read the expression from the outside and name each layer. Step 2: differentiate the outermost layer and leave everything inside it completely alone. Step 3: multiply by the derivative of what was inside. If the expression is nested three deep, the answer carries three factors, and the count of factors is itself a check on your work.
Three templates account for most of Section I:
$$\frac{d}{dx}e^{g(x)}=e^{g(x)}g'(x),\qquad\frac{d}{dx}\ln\big(g(x)\big)=\frac{g'(x)}{g(x)},\qquad\frac{d}{dx}\big[g(x)\big]^{n}=n\big[g(x)\big]^{n-1}g'(x)$$A warning about notation that BC exams exploit: $\sin^{2}(3x)$ means $\big[\sin(3x)\big]^{2}$, so it is nested three deep — squaring, then sine, then $3x$ — and its derivative is $6\sin(3x)\cos(3x)$.
Câu tóm tắt cả quy tắc: đạo hàm hàm ngoài, giữ nguyên hàm trong, rồi nhân đạo hàm hàm trong. Nhưng đọc thuộc câu đó chưa đủ, phải chạy nó thành ba bước máy móc.
Bước 1 — đếm lớp. Đọc biểu thức từ ngoài vào, gọi tên từng lớp vỏ. Bước 2 — đạo hàm lớp ngoài cùng, tuyệt đối không đụng vào ruột. Bước 3 — nhân đạo hàm của ruột, và nếu ruột lại là hàm hợp thì lặp lại từ đầu.
Số lớp vỏ đếm được ở đề phải bằng số thừa số trong đáp án. Đó là phép kiểm nhanh nhất, làm được trong ba giây, và bắt được gần hết lỗi dây chuyền.
Ba khuôn phải thuộc: $\left(e^{g}\right)'=e^{g}g'$, $\left(\ln g\right)'=\frac{g'}{g}$, và $\left(g^{n}\right)'=n\,g^{n-1}g'$.
Bẫy ký hiệu mà đề BC khai thác thường xuyên: $\sin^{2}(3x)$ chính là $\left[\sin(3x)\right]^{2}$, tức ba tầng chứ không phải hai, nên đạo hàm là $6\sin(3x)\cos(3x)$ chứ không phải $2\sin(3x)$.
Tính $\dfrac{dy}{dx}$ với $y=\ln\left(\cos\left(3x\right)\right)$, rồi rút gọn về một hàm lượng giác quen thuộc.
Ba lớp: ngoài cùng là $\ln$, giữa là $\cos$, trong cùng là $3x$. Vậy đáp án phải có đúng ba thừa số.
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(3x)}\cdot\left(-\sin(3x)\right)\cdot 3$$Gộp lại:
$$\frac{dy}{dx}=-3\cdot\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}=-3\tan(3x)$$Phép kiểm ba giây: đếm được ba lớp vỏ ở đề, và dòng đầu tiên của lời giải có đúng ba thừa số. Nếu chỉ viết ra hai thừa số thì chắc chắn đã bỏ quên một tầng.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 3 — Differentiation: Composite, Implicit, and Inverse Functions gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.