Mục lục bài họcĐang ở d04-b2
Related Rates
What actually makes these problems work
A related-rates problem contains two kinds of letters: quantities that change with time and quantities that are fixed by the geometry of the object. Everything depends on sorting them correctly before any calculus happens.
- Draw the picture and label. Beside every letter write “changes” or “fixed”.
- Find one equation relating the changing letters. It is almost always geometry: Pythagoras, similar triangles, an area or volume formula, or a trigonometric ratio.
- If the equation still contains two changing letters besides the one asked for, use a second, time-independent relation (typically similar triangles) to eliminate one.
- Differentiate both sides with respect to $t$. Each changing letter contributes its own rate through the chain rule.
- Only now substitute the values that hold at the instant in question, solve, and report the rate with units and with a sign.
The relation used in step 2 must be true at every instant, not merely at the instant asked about — that is exactly why a measured value such as “$h=3$ at this moment” may never be written into the equation before step 5.
Bài tốc độ liên hệ chỉ có hai loại chữ cái: loại thay đổi theo thời gian và loại cố định do hình dạng vật. Phân loại sai ở bước đầu thì mọi bước sau đều sai, nên hãy ghi thẳng lên hình chữ “đổi” hay “hằng” bên cạnh từng ký hiệu.
- Vẽ hình, ghi rõ cái nào đổi, cái nào hằng.
- Tìm một hệ thức nối các đại lượng đang đổi: Pythagoras, tam giác đồng dạng, công thức diện tích – thể tích, hoặc một tỉ số lượng giác.
- Nếu hệ thức còn dư một biến đổi theo thời gian, dùng hệ thức thứ hai không phụ thuộc thời gian (thường là đồng dạng) để khử bớt.
- Đạo hàm hai vế theo $t$. Mỗi biến đang đổi đẻ ra một tốc độ qua quy tắc dây chuyền.
- Đến đây mới thay số của thời điểm cần xét, giải, rồi ghi kết quả kèm đơn vị và dấu.
Hệ thức ở bước 2 phải đúng ở mọi thời điểm, không chỉ đúng ở thời điểm được hỏi. Đó chính là lý do một số đo kiểu “lúc này $h=3$” tuyệt đối không được viết vào phương trình trước bước 5: viết vào là biến một đại lượng đang chạy thành hằng số, và số hạng tốc độ của nó biến mất khỏi bài.
Một người cao $1{,}8$ m đi ra xa một cột đèn cao $4{,}5$ m với vận tốc $1{,}5$ m/s. Tính tốc độ dài thêm của bóng, và tốc độ di chuyển của đầu bóng trên mặt đất.
Gọi $x$ là khoảng cách từ người tới chân cột, $s$ là chiều dài bóng. Hai tam giác vuông đồng dạng cho
$$\frac{1{,}8}{s}=\frac{4{,}5}{x+s}\ \Longrightarrow\ 1{,}8x+1{,}8s=4{,}5s\ \Longrightarrow\ s=\frac{2x}{3}$$Hệ thức này đúng ở mọi thời điểm nên đạo hàm được theo $t$:
$$\frac{ds}{dt}=\frac23\cdot\frac{dx}{dt}=\frac23(1{,}5)=1\ \text{m/s}$$Đầu bóng cách chân cột một đoạn $x+s$, nên tốc độ của nó là
$$\frac{d}{dt}(x+s)=1{,}5+1=2{,}5\ \text{m/s}$$Chú ý cả hai kết quả đều không phụ thuộc vị trí người đang đứng — một dấu hiệu nhận biết bài đồng dạng tuyến tính. Người trả lời $1$ m/s cho câu thứ hai là người đã trả lời câu thứ nhất hai lần.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 4 — Contextual Applications of Differentiation gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.