Mục lục bài họcĐang ở d01-b2
Indeterminate Forms: Algebraic Surgery and the Standard Limits
Substitution first, surgery only if it fails
Direct substitution is legal for every function built from polynomials, roots, exponentials, logarithms and trig functions at points inside its domain. Only when substitution returns an indeterminate form — $\frac00$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $1^{\infty}$ — is more work required.
The toolkit
- Factor and cancel when both numerator and denominator vanish at $c$: then $(x-c)$ divides both.
- Multiply by the conjugate when a difference of square roots produces $\frac00$ or $\infty-\infty$.
- Clear compound fractions by multiplying top and bottom by the common denominator.
- Rewrite $1^{\infty}$ using $\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}\to e^{k}$, or by taking logarithms.
Standard limits worth memorising
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\quad\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac12,\quad\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1,\quad\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$$Each of these is the first Maclaurin coefficient of the function in disguise. Recognising that now makes Unit 10 shorter later.
Thế thẳng là hợp lệ với mọi hàm ghép từ đa thức, căn, mũ, loga và lượng giác — miễn là điểm đó nằm trong tập xác định. Chỉ khi thế thẳng ra dạng vô định ($\frac00$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty-\infty$, $1^{\infty}$) mới phải làm thêm. Thứ tự này quan trọng: nhiều bạn nhảy ngay vào biến đổi rồi tự tạo lỗi ở bài vốn chỉ cần thế số.
Bộ đồ nghề: phân tích nhân tử rồi rút gọn (khi tử và mẫu cùng triệt tiêu tại $c$ thì cả hai chia hết cho $x-c$); nhân liên hợp khi có hiệu hai căn; quy đồng để dẹp phân số chồng phân số; và với dạng $1^{\infty}$ thì dùng $\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}\to e^{k}$ hoặc lấy loga hai vế.
Bốn giới hạn chuẩn phải thuộc: $\frac{\sin x}{x}\to1$; $\frac{1-\cos x}{x^{2}}\to\frac12$; $\frac{e^{x}-1}{x}\to1$; $\frac{\ln(1+x)}{x}\to1$ (mọi giới hạn khi $x\to0$).
Mỗi con số trong bốn giới hạn đó chính là hệ số đầu tiên của khai triển Maclaurin viết dưới dạng nguỵ trang. Nhìn ra điều này từ Unit 1 làm Unit 10 của BC ngắn đi rất nhiều: $\sin x\approx x$, $1-\cos x\approx\frac{x^{2}}{2}$, $e^{x}\approx1+x$. Ở BC, đề rất hay hỏi những giới hạn mà chỉ số hạng bậc ba mới quyết định kết quả, ví dụ $\frac{x-\sin x}{x^{3}}$.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{9x^{2}+12x}-3x\right)$, rồi tính $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{9x^{2}+12x}-3x\right)$.
Phía $+\infty$. Dạng $\infty-\infty$, nhân liên hợp:
$$\sqrt{9x^{2}+12x}-3x=\frac{\left(9x^{2}+12x\right)-9x^{2}}{\sqrt{9x^{2}+12x}+3x}=\frac{12x}{\sqrt{9x^{2}+12x}+3x}$$Chia tử và mẫu cho $x$ (với $x>0$ thì $\sqrt{9x^{2}+12x}=x\sqrt{9+\frac{12}{x}}$):
$$\frac{12}{\sqrt{9+\frac{12}{x}}+3}\longrightarrow\frac{12}{3+3}=2$$Phía $-\infty$. Ở đây không có dạng vô định. Với $x<0$ ta có $\sqrt{9x^{2}+12x}\approx3|x|=-3x>0$, còn $-3x>0$, nên hai số hạng cùng dương và cộng lại:
$$\sqrt{9x^{2}+12x}-3x\approx-3x-3x=-6x\longrightarrow+\infty$$Vậy hai phía cho hai kết quả hoàn toàn khác nhau: $2$ và $+\infty$. Nguồn gốc của sự bất đối xứng là $\sqrt{u^{2}}=|u|$ chứ không phải $u$.
Tính $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+5}{x+1}\right)^{4x}$.
Bước 1 — đưa về khuôn $1+\frac{k}{u}$.
$$\frac{x+5}{x+1}=1+\frac{4}{x+1}$$Bước 2 — chỉnh số mũ cho khớp mẫu. Đặt $u=x+1$, khi đó $4x=4u-4$:
$$\left(1+\frac{4}{u}\right)^{4u-4}=\left[\left(1+\frac{4}{u}\right)^{u}\right]^{4}\cdot\left(1+\frac{4}{u}\right)^{-4}$$Bước 3 — lấy giới hạn từng thừa số. Thừa số đầu tiến về $\left(e^{4}\right)^{4}=e^{16}$; thừa số thứ hai tiến về $1^{-4}=1$.
$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+5}{x+1}\right)^{4x}=e^{16}$$Mấu chốt là số mũ $4x$ không bằng $u$, nên phải tách thành phần bội của $u$ và phần dư; bỏ qua bước tách là mất luôn thừa số $4$ ở số mũ.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 1 — Limits and Continuity gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.