Mục lục bài họcĐang ở d02-b1
The Derivative as a Limit
Two forms of the same definition
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$Both quotients measure the same thing: the slope of the secant line through two points of the graph. Letting the second point slide onto the first turns the average rate of change into the instantaneous rate of change, which is the slope of the tangent line at $x=a$.
Every difference quotient is a $\tfrac00$ form, so no value can be read off by substitution. Algebra must first cancel the factor that is going to zero — expand and collect, rationalise a radical, or combine fractions over a common denominator.
The AP exam asks this backwards more often than forwards: you are handed a limit and must recognise which $f$ and which $a$ it belongs to. The habit that decodes it: whatever is being added to $h$ is the point $a$, and whatever wraps around it is the function $f$.
Hai dạng viết, một nội dung: $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ và $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Cả hai đều đo hệ số góc của cát tuyến qua hai điểm; cho hai điểm chập lại thì tỉ số thay đổi trung bình biến thành tỉ số thay đổi tức thời, tức hệ số góc tiếp tuyến tại $x=a$.
Mọi tỉ sai phân đều là dạng $\frac00$, nên không bao giờ thay thẳng số vào được. Phải khử bằng đại số trước: khai triển rồi rút gọn, nhân liên hợp nếu có căn, quy đồng nếu có phân thức. Sau khi khử xong mới cho $h\to0$.
Đề AP hỏi ngược nhiều hơn hỏi xuôi: cho sẵn một giới hạn rồi bắt nhận ra nó là $f'(a)$ của hàm nào, tại điểm nào. Thói quen đọc nhanh: số cộng với $h$ chính là $a$, còn cái bọc bên ngoài chính là $f$. Nhận đúng hai thứ đó là câu hỏi biến thành một phép đạo hàm ba giây.
Dùng định nghĩa giới hạn, tính $f'(x)$ với $f(x)=\dfrac{1}{x+3}$, rồi suy ra $f'(-1)$.
Viết tỉ sai phân và quy đồng ngay trong tử:
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{h}\left(\frac{1}{x+h+3}-\frac{1}{x+3}\right)=\frac{1}{h}\cdot\frac{(x+3)-(x+h+3)}{(x+h+3)(x+3)}$$Tử rút gọn còn $-h$, triệt tiêu với $\frac1h$:
$$=\frac{-h}{h(x+h+3)(x+3)}=\frac{-1}{(x+h+3)(x+3)}$$Bây giờ mới cho $h\to0$: $f'(x)=\dfrac{-1}{(x+3)^2}$.
Do đó $f'(-1)=\dfrac{-1}{4}$. Dấu âm hợp lý vì $\frac{1}{x+3}$ giảm trên mọi khoảng không chứa $-3$.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 2 — Differentiation: Definition and Fundamental Properties gồm 14 câu trắc nghiệm và 3 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.