Mục lục bài họcĐang ở d06-b2
The Fundamental Theorem and u-Substitution
Two halves of one theorem
Part 1 (the accumulation function). If $f$ is continuous and $g(x)=\displaystyle\int_a^{x} f(t)\,dt$, then $g'(x)=f(x)$. With a variable upper limit that is itself a function, the chain rule joins in:
$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt=f\!\big(u(x)\big)\,u'(x)$$When both limits move, split at any convenient constant and subtract:
$$\frac{d}{dx}\int_{v(x)}^{u(x)} f(t)\,dt=f\!\big(u(x)\big)u'(x)-f\!\big(v(x)\big)v'(x)$$Part 2 (evaluation). If $F'=f$ on $[a,b]$, then $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$. Equivalently $\displaystyle\int_a^b F'(x)\,dx=F(b)-F(a)$ — the net change theorem.
Substitution
Set $u=g(x)$, so $du=g'(x)\,dx$. The integral must contain $g'(x)$ up to a constant multiple. For a definite integral, either change the limits to $u$-values and never return to $x$, or back-substitute and keep the original limits — but never mix the two.
Phần 1 — hàm tích luỹ. Với $f$ liên tục và $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ thì $g'(x)=f(x)$. Câu này nói: đạo hàm của "diện tích cộng dồn tới $x$" chính là chiều cao tại $x$. Khi cận trên là một hàm $u(x)$, quy tắc dây chuyền chen vào và đẻ thêm thừa số $u'(x)$. Khi cả hai cận đều chạy, tách tại một hằng số tuỳ ý rồi trừ: $f(u)u'-f(v)v'$.
Phần 2 — công thức tính. $\int_a^b f=F(b)-F(a)$ với $F$ là một nguyên hàm bất kỳ của $f$. Viết lại theo ngôn ngữ tích luỹ: $\int_a^b F'(x)\,dx=F(b)-F(a)$, tức tích phân của tốc độ ra lượng thay đổi ròng. Đây là câu dùng nhiều nhất trong mọi bài tự luận ngữ cảnh.
Đổi biến. Đặt $u=g(x)$, khi đó $du=g'(x)\,dx$. Điều kiện dùng được: trong biểu thức phải có sẵn $g'(x)$, sai khác một hằng số nhân thì bù được, sai khác một hàm số thì không. Với tích phân xác định có hai lối đi hợp lệ: đổi luôn hai cận sang giá trị của $u$, hoặc thay ngược về $x$ rồi giữ cận cũ. Trộn hai lối — đổi biến mà giữ cận cũ — là lỗi bị trừ điểm nặng nhất ở phần này.
Cho $h(x)=\displaystyle\int_{2x}^{x^{2}}\sqrt{4+t^{2}}\;dt$. Tính $h'(1)$.
Cả hai cận đều phụ thuộc $x$ nên dùng dạng đầy đủ:
$$h'(x)=\sqrt{4+\left(x^{2}\right)^{2}}\cdot 2x\;-\;\sqrt{4+(2x)^{2}}\cdot 2$$Tại $x=1$:
$$h'(1)=\sqrt{4+1}\cdot 2-\sqrt{4+4}\cdot 2=2\sqrt5-2\sqrt8=2\sqrt5-4\sqrt2$$Hai chỗ dễ mất điểm nằm ở hai thừa số ngoài: $2x$ đến từ đạo hàm của $x^{2}$, và $2$ đến từ đạo hàm của $2x$. Không có hàm $\sqrt{4+t^2}$ nào bị đạo hàm cả — biến $t$ đã bị tích phân nuốt mất.
Tính $\displaystyle\int_0^{2}\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}\,dx$.
Đặt $u=x^{2}+1$, khi đó $du=2x\,dx$ nên $x\,dx=\frac12\,du$.
Đổi cận ngay: $x=0\Rightarrow u=1$; $x=2\Rightarrow u=5$.
$$\int_0^{2}\frac{x\,dx}{\left(x^{2}+1\right)^{3}}=\frac12\int_{1}^{5}u^{-3}\,du=\frac12\left[\frac{u^{-2}}{-2}\right]_{1}^{5}=-\frac14\left(\frac{1}{25}-1\right)=\frac{6}{25}$$Chú ý cả biểu thức lẫn hai cận đều đã sang thế giới của $u$, không còn dấu vết nào của $x$. Đó là dấu hiệu bài làm đúng quy trình.
Đọc xong rồi — làm thử ngay
Bài tập của chương Unit 6 — Integration and Accumulation of Change gồm 14 câu trắc nghiệm và 4 đề tự luận. Đáp án hiện ngay khi chọn, miễn phí.